Beliebige Matrix zum Quadrat ist (-1)* Einheitsmatrix

04.12.2009, 21:52	Betzi	Auf diesen Beitrag antworten »
*Beliebige Matrix zum Quadrat ist (-1) Einheitsmatrix** Die Aufgabenstellung lautet, die Menge der Matrizen (2x2) zu finden, deren Quadrat die Einheitsmatrix * (-1) ergibt. $\begin{eqnarray} A =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ansatz: Ich bilde das Produkt der beliebigen Matrix A und erhalte folgende Gleichungen: $\begin{eqnarray} I a^2 +bc = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} II ab+bd = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} III ca +cd = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} IV cb + d^2 = -1 \end{eqnarray}$ Ich muss Fallunterscheidungen machen: $\begin{eqnarray} 1. Fall: c = 0 --> a^2 = -1 , d^2 = -1 \end{eqnarray}$ --> Widerspruch $\begin{eqnarray} 2. Fall: b = 0 --> a^2 = -1 , d^2 = -1 \end{eqnarray}$ --> Widerspruch 3. Fall: a = 0 --> d= 0 und b= r und c = - 1/r $\begin{eqnarray} M1 = \left\{ \begin{pmatrix} 0 & r \\ -1/r & 0 \end{pmatrix} , r\neq 0 , r\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ 4. Fall: a = b = c = d = 0 --> Widerspruch 5. Fall: a,b,c,d sind nicht 0 Da komm ich nur soweit, dass a = -d. Dann nicht weiter... Ist bis auf den 5. Fall alles richtig? Wie würdet ihr weitergehen?
04.12.2009, 23:10	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
a=-d muss ja in jedem Fall gelten, denn wegen II gilt (a+d)b=0 und wegen I kann b nicht 0 sein, weshalb also a+d=0 sein muss... Damit sind dann II und III automatisch erfüllt und I und IV identisch, usw.
04.12.2009, 23:18	Betzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, aber das hilft mir nicht wirklich weiter, ob noch eine weitere Teilmenge besteht. Habt ihr weitere Tips?
04.12.2009, 23:27	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, was willst du noch? Es gibt doch ausser a=-d ja nur die einzige Bedingung I, wie ich oben auch geschreiben habe, und die kannst auch schreiben als \|A\|=1, wenn du willst...
04.12.2009, 23:48	Betzi	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} M2 = \begin{pmatrix} \sqrt{-1-bc} & b \\ c & - \sqrt{-1-bc} \end{pmatrix}<br /> <br /> M3 = \begin{pmatrix} -\sqrt{-1-bc} & b \\ c & \sqrt{-1-bc} \end{pmatrix} <br /> <br /> b,c\in \mathbb R , bc \leq -1 \end{eqnarray*}$ Wenn ich dann aber so eine Matrix quadriere, komm ich nicht auf die -Id.
05.12.2009, 08:36	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Au weia, du bist aber hartnäckig... 1.Zunächst einmal liefern deine beiden Typen M2 und M3 tatsächlich -Id, keine Ahnung wo du dich da verrechnet hast... 2. Des weiteren gibt es nicht 3 Typen, wie du offenbar anzunehmen scheinst, sondern nur einen einzigen, nämlich $\begin{eqnarray} M:=\begin{pmatrix} a &b\\-\frac{1+a^2}b &-a \end{pmatrix},\quad b \not = 0 \end{eqnarray}$ 3. Zum dritten scheinst du immer noch nicht realisiert zu haben, dass du dich mit deiner Fallunterscheidung total verrannt hast... Mit Ausnahme von b und c spielt es nämlich überhaupt keine Rolle, ob die Matrixelemente 0 oder nicht 0 sind... Genaugenommen gibt es nur einen einzigen Fall, und den habe ich dir auch schon hergeleitet und in 2. auch noch einmal explizit hingeschrieben, sodass ich mich nicht zu wiederholen brauche... 4. Last but not least sollte man sich überhaupt nicht mit den Matrixelementen "herumspielen"... Immerhin gehst du ja aus von der Gleichung $\begin{eqnarray} A^2+E=O \end{eqnarray}$ wenn E die 2x2-Einheitsmatrix und O die 2x2-Nullmatrix bezeichnet...Das heißt aber nichts anders als das $\begin{eqnarray} x^2+1 \in \mathbb{R}[x] \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom von A ist, da es offensichtlich irreduzibel ist...Damit ist es zugleich das charakteristische Polynom und wir können direkt unsere zwei damit äquivalenten Bedingungen, nämlich $\begin{eqnarray} \text{trace}(A)=0, \|A\|=1 \end{eqnarray}$ ohne irgendeine Rechnung daraus ablesen...
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