Stetige Funktion?

05.12.2009, 12:37

Diaz

Stetige Funktion?

f: R ---> R : x ---> \begin{pmatrix} x, x irrational \\ 0, x rational \end{pmatrix}

ich soll zeigen, dass diese Funktion nur im 0-Punkt stetig ist.
Wie mach ich das?

05.12.2009, 13:37

Cel

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RE: Stetige Funktion?
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \; x \mapsto \begin{cases} x & \text{x irrational} \\ 0 & \text{x rational }\end{cases} \end{eqnarray*}$

Meinst du so etwas?

Du kannst das mit dem Folgenkriterium machen. Nehme an, die Funktion wäre in einem x_0 ungleich Null stetig und wähle eine Folge x_n, die gegen x_0 konvergiert, so dass gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}f(x_n) \neq f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Unterscheide hierzu zwischen einem rationalen und einem irrationalen x_0.

05.12.2009, 15:39

Diaz

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RE: Stetige Funktion?
Ich verstehe den Ansatz irgendwie nicht =/
Letztendlich beweis ich dadurch durch Widerspruch ne?

05.12.2009, 15:50

Cel

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Ja. Sagt dir die Tatsache etwas, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ liegt? Das brauchst du für den Fall, dass x_0 irrational ist.

Bist du übrigens sicher, dass f nur in 0 stetig ist? Ich würde vermuten, dass es in allen rationalen Zahlen stetig ist.

05.12.2009, 16:13

Diaz

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Die Aufgabenstellung lautet zu beweisen, dass die Funktion nur im Nullpunkt stetig ist.. dann geh ich davon aus, sonst wär das ja gemein smile

05.12.2009, 16:18

Cel

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Dann fang mal mit irrationalen x_0 an. Hier klappt das Folgenkriterium.
Bei rationalen x_0 funktioniert es wohl mit Epsilon-Delta besser.

05.12.2009, 16:22

Diaz

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sDie irrationalen Zahlen liegen doch nicht dicht in den reellen Zahlen oder?
Dann ist es doch nicht stetig!?

05.12.2009, 18:38

Cel

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Zitat:

Original von Diaz
sDie irrationalen Zahlen liegen doch nicht dicht in den reellen Zahlen oder?
Dann ist es doch nicht stetig!?

Doch, das tun sie. Aber selbst wenn nicht - was das bringt, sehe ich nicht.

Fang doch einfach mal an. Nimm dir ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , welches irrational ist. Ich zeige dir mal, wie du zeigen kannst, dass f in x_0 nicht stetig ist.

Begründe, dass eine Folge x_n existiert, die gegn x_0 konvergiert mit $\begin{eqnarray*} f(x_n) = 0 \; \forall \; n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Es folgt $\begin{eqnarray*} f(x_n) \rightarrow 0 \neq x_0 = f(x_0). \end{eqnarray*}$ Damit ist f nicht in x_0 stetig. Du musst jetzt nur noch begründen, warum eine solche Folge existiert und welche Eigenschaften sie haben muss. Ich habe dir schon den Grund dafür genannt ... Explizit angeben musst du sie jedenfalls nicht.

06.12.2009, 11:56

Diaz

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Ich weiß auch nicht... ich begreife dieses Thema einfach nicht unglücklich

geht es gegen null, weil die Funktion im Nullpunkt stetig ist? Tut mir Leid, ich hab nicht wirklich Ahnung...

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