Vollständige Induktion - Elferprobe

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05.12.2009, 16:04	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion - Elferprobe Hallo, kann mir bitte jemand einen Denkanstoß zu folgender Aufgabe geben? Die natürliche Zahl n sei in ihrer Dezimaldarstellung $\begin{eqnarray} a_{k} a_{k-1}...a_0 \end{eqnarray}$ angegeben. Beweisen Sie, dass n genau dann durch 11 teilbar ist, wenn die alternierende Quersumme $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^k~(-1)^{i}a_i \end{eqnarray*}$ durch 11 teilbar ist. Also ich denk das das mit vollständiger Induktion zu lösen ist, aber wie??
05.12.2009, 17:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies kann man direkt beweisen, wobei du eben $\begin{eqnarray} 10 \equiv -1 \mod 11 \end{eqnarray}$ benutzt
05.12.2009, 17:31	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry kann dir nicht folgen... Wie kann ich das dann damit beweisen?
05.12.2009, 17:45	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht den die Dezimaldarstellung als Summe aus?
05.12.2009, 18:02	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke so oder? $\begin{eqnarray} a = \sum_{i=0}^k~(a_i10^i) \end{eqnarray}$ Ok und hier setz ich dann ein: $\begin{eqnarray} 10 \equiv -1 mod 11 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} a = \sum_{i=0}^k~(a_i(-1 mod 11)^i) \end{eqnarray}$ Ich hoff ich komm gleich drauf...
05.12.2009, 18:12	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
So und wenn du jetzt meinen Tipp anwendest bist du schon fertig
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05.12.2009, 18:33	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry also ehrlich gesagt komm ich immer noch nicht drauf... Ich habe jetzt 2 Formeln: Alternierende Quersumme von a: $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^k~(-1)^ia_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a = \sum_{i=0}^k~a_i(-1mod11)^i \end{eqnarray}$ Aber was habe ich damit gezeigt?
05.12.2009, 18:55	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt aber schon warum du den Term modulo 11 rechnen musst? Und du kennst auch die Rechenregeln für modulo? Falls ja weiß ich nicht was man dazu noch schreiben kann ohne die Aufgabe komplett zu lösen
05.12.2009, 19:02	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
An den Rechenregeln haperts grad weil ich nicht weiß wie ich den Term jetzt umformen darf...
05.12.2009, 19:53	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_(Zahlentheorie)
07.12.2009, 17:03	dennis7	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, bist du inzwischen weitergekommen bei der Aufgabe? Ich sitz grade an der selben und komm da auch nicht wirklich weiter, aber ich glaube induktion braucht man nicht. Das ist auch zum Thema: www onlinemathe.de/forum/Die-Elferprobe
08.12.2009, 03:00	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja soweit ichs verstanden habe muss man nur umformen. Induktion scheint nicht nötig zu sein. Vielen dank für den Link den du geschickt hast. Das ist ziemlich ausführlich. Danke
08.12.2009, 13:12	dennis7	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie meinst du das mit umformen? Muss man $\begin{eqnarray} a=\sum_{i=0}^k~a_i(-1mod11)^i \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} a=\sum_{i=0}^k~a_i(-1)^i \end{eqnarray}$ umformen? Weist du wie das geht?
08.12.2009, 18:53	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, wirklich weitergekommen bin ich noch nicht. Ich weiß nur so grob wie es gehen sollte... und das man keine Induktion dazu benötigt.
10.12.2009, 22:16	gambaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich hab die Aufgabe jetzt glaub ich verstanden... Nachdem die Zahl von ihrer Dezimaldarstellung in ihre Summendarstellung umgewandelt wurde, ist zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^k a_i 10^i \equiv \sum\limits_{i=0}^k (-1)^i * a_i (mod 11) \end{eqnarray}$ Das (mod 11) bezieht sich auf beide Seiten der Gleichung und sagt aus, dass bei Anwendung der Modulo-Funktion auf beiden Seiten der gleiche Rest stehen bleibt (Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenz_%28Zahlentheorie%29) Es gilt nun allgemein: (a+b) mod m $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ ((a mod m) + (b mod m)) mod m Also 10 mod 11 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ ((-1 mod 11) + (11 mod 11)) mod 11 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ ((-1 mod 11) + 0) mod 11 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ (-1 mod 11) mod 11 $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ -1 mod 11. Weiterhin gilt (ab) mod m $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ ((a mod m) * (b mod m)) mod m Diesen Satz braucht man um mod 11 aus der Klammer zu bekommen, nachdem man die 10 ersetzt hat. Durch Umformung lässt sich also zeigen, dass: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^k a_i 10^i \equiv \sum\limits_{i=0}^k (-1)^i * a_i (mod 11) \end{eqnarray*}$
10.12.2009, 23:34	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt alles

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