f(z)=z² ist stetig mit Hilfe der epsilon-delta definition

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f(z)=z² ist stetig mit Hilfe der epsilon-delta definition
Hallo!

Ich soll kommende Woche einen Vortrag halten über die Epsilon-delta Definition und dazu einige Aufgaben lösen. Das Problem ist, dass sich das Ganze im komplexen Raum bewegt und ich nur Lösungen dazu finde, die im Reellen sind.
Also hier mal meine Aufgaben, wäre super, wenn mir jemand helfen könnte. =)
a) f(z)=z²
b) Seien g(z) und f(z) 2 stetige Funktionen, dann ist auch f(z)+g(z) stetig
c) Seien g(z) und f(z) 2 stetige Funktionen, dann ist auch f(z)*g(z) stetig
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Dann poste mal deine Ansätze. Wo hängts denn?
Und als Hinweis: Alle Nachweise gehen genau wie im Reellen.

Übrigens:
Wenn du dir mühsames ersparen willst, dann zeige, dass auf ganz stetig ist und dann die dritte Aufgabe. Die erste folgt damit.
No idea Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mal was Grundelgendes...und zwar wähle ich delta in abhängigkeit von delta oder epsilon in Abhängigkeit von delta?
Zur ersten Aufgabe:
Bei der ersten Aufgabe habe ich delta (=d) so bestimmt, dass d= -|z0|+wurzel aus |z0|²+epsilon
darauf bin ich gekommen, indem ich f(z)-f(zo) umgeformt habe und dann kommt raus d²+2d|zo| und das habe ich dann gleich epsilon (=e) gesetzt. Also d²+2d|zo|=e und dann die p,q - Formel angewendet und dann komm ich auf das d oben. Da hat meine Professorin gemeint, dass der Beweis grundelegend falsch sei, weil ich delta mit epsilon definiere und epsilon mit delta.
Muss ich das dann anders aufschreiben oder sind die Anstze schon falsch?

Zur 2. Aufgabe:
Also wenn das genauso läuft, wie im reellen Bereich, dann ist d1<e/2 und d2/e/2 und dann komm ich durch die Umformung darauf, dass F(z)-f(z0) < e/2 und g(z)-g(z0) < e/2 und dann ist das kleiner oder gleich e.

Zur 3. Aufgabe.
Da müsste ich dann 4 deltas bestimmen, geht das?
f(x)g(x) - f(x0)g(x0)
=f(x)g(x) - f(x)g(x0) + f(x)g(x0) - f(x0)g(x0)
=f(x)*( g(x) - g(x0) ) + ( f(x) - f(x0) ) *g(x0)

=f(x)*( g(x) - g(x0) ) + ( f(x) - f(x0) ) *g(x0)
=f(x)*( g(x) - g(x0) ) - f(x0)*( g(x) - g(x0) ) + f(x0)*( g(x) - g(x0) ) + ( f(x) - f(x0) ) *g(x0)
=( f(x) - f(x0) )*( g(x) - g(x0) ) + f(x0)*( g(x) - g(x0) ) + ( f(x) - f(x0) ) *g(x0)

Jetzt nur noch delta so klein wählen, dass
f(x) - f(x0) < Wurzel( epsilon/3) und
g(x) - g(x0) < Wurzel( epsilon/3) und
g(x) - g(x0) < epsilon/(3*f(x0)) und
f(x) - f(x0) < epsilon/(3*g(x0))

Wie muss ich das denn am anfang vom beweis aufschreiben...meine Professorin will das alles ganz genau strukturiert haben.

Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen, danke schon mal!
No idea Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beginn...sorry...also wähle ich delta in abhängigkeit von epsilon oder wähle ich zunächst ein epsilon und finde dazu ein delta...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du dir zunächst noch einmal die Definition der Stetigkeit durchlesen und klar machen.

Eine Funktion heisst stetig im Punkt genau dann, wenn für jedes ein existiert so, dass wenn stets auch gilt.

Des Weiteren erstmal noch ordentlich aufschreiben was für eine Funktion es ist. Eine Funktionsgleichung alleine definiert keine Funktion. Eine Funktion besteht aus Angabe von Definitions- und Zielmenge und der Funktionsgleichung.

Bitte nutze den Formeleditor !

Deine Lösungsvorschläge kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen.

Nun zunächst einmal zur (b):
Ich schreibe dir hier mal was vollständiges hin, aber du solltest dir jede einzelne Stelle mit einem [?] klar machen und begründen.

Du hast zwei stetige Funktionen auf einem gemeinsamen Definitionsbereich .
Nun fängt man den Beweis an.
Sei also und . Wähle so, dass aus jeweils
und
gilt.
[Wieso kann man solch ein finden?]
Dann hat man falls :

[Wieso gelten die gemachten Abschätzungen?]
und die Stetigkeit von im Punkt folgt.
Da beliebig in war, ist also auf ganz stetig.
[Welche Voraussetzung musste man also über machen?]
No idea Auf diesen Beitrag antworten »

Ok bei den Fragen gehts leider schon los...!
Ich kann doch solch ein delta größer Null finden, wenn die Funktion stetig ist und wenn ich dazu ein epsilon finden kann.
Die gemachten Abschätzungen gelten, weil sie kleiner als epsilon sind und am Ende des Beweises epsilon ergeben. Weil hätte ich 3 Teile, dann müsste ich nehmen. Ich muss delta ja immer so abschätzen, dass ich am Schluss auf epsilon komme.
So hab ich das bisher verstanden...aber ich glaub du hast mit den Fragen schon den Knackpunkt des Nichtverstehens gefunden.

Und zur 2. Aufgabe mit dem Formeleditor.
Habe das folgendermaßen gelöst:


Also ich komme durch Umformungen von |f(z)-f(zo)|=


Und da hat sie eben kritisiert, dass das net gehe zunächst delta mit epsilon zu definieren, also

und am schluss epsilon mit delta


Ich hoffe du kannst es jetzt besser nachvollziehen...war wirklich sehr unübersichtlich! Wenn ich jetzt noch epsilon und delta finden würde...=)

Danke schon mal!
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
\varepsilon, \delta


ergibt



(Geht auch ohne das "var", finde es mit aber schöner. Ohne das kommt eben das Epsilon aus system-agents Beiträgen heraus)

Noch ein Hinweis: Zitiere einfach einen Beitrag, dann siehst du den Code und kannst schauen, wie es gemacht wird (und breche dann natürlich ab, also nicht wirklich antworten).
Auch mit der Maus über den Code fahren zeigt diesen an.

air
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von No idea
Ich kann doch solch ein delta größer Null finden, wenn die Funktion stetig ist und wenn ich dazu ein epsilon finden kann.


Das ist leider für mich vollkommen unverständlich und wahrscheinlich falsch.
Was bedeutet es, wenn stetig ist?
Du kannst lediglich wählen, und das in Abhängigkeit von und , aber ist beliebig.


Zitat:
Original von No idea
Die gemachten Abschätzungen gelten, weil sie kleiner als epsilon sind und am Ende des Beweises epsilon ergeben. Weil hätte ich 3 Teile, dann müsste ich nehmen. Ich muss delta ja immer so abschätzen, dass ich am Schluss auf epsilon komme.


Das ist alles sehr sehr schwammig.
Es ist auch nicht falsch wenn am Ende da steht, wichtig ist einfach dass man die Differenz klein bekommt.

Zitat:
Original von No idea
So hab ich das bisher verstanden...aber ich glaub du hast mit den Fragen schon den Knackpunkt des Nichtverstehens gefunden.


Dann lies dir nochmal genau durch was es heisst, dass eine Funktion stetig in einem Punkt ist.
Versuche zu verstehen was es bedeutet und frage ggf. hier nach.
Bevor du das nicht verstanden hast bringt es nichts irgendwelche Stetigkeitsbeweise führen zu wollen.


Das Problem ist, dass das was du hier mit Epsilon und Delta machst eben nichts mit dem zu tun hat, was man braucht. Deshalb versteht man es nicht Augenzwinkern .

Du kannst dir zum Beispiel auch mal das zu Gemüte führen.
No idea Auf diesen Beitrag antworten »

Also es gibt ja noch eine andere Definition von Stetigkeit bei der gesagt wird, dass f stetig in x0 ist genau dann, wenn der Grenzwert von f für x--> x0 existiert und lim f(x)=f(x0) gilt. Das find ich ehrlich gesagt einfacher zu verstehen, weil man da nach einem Grenzwert sucht...aber das gibt es ja bei der anderen Definition nicht, weil man eine Umgebung um z0 sucht, die in die Umgebung um f(z) nämlich abgebildet wird.
Was für mich auch schwer zu verstehen ist, ist der Raum in dem wir uns bewegen...im reellen ist es und im Komplexen bewegen wir uns dann im .
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, aus dem Grund solltest du die Anschaulichkeit vergessen.

Und tatsächlich kann man Stetigkeit definieren mit der Sache mit den Grenzwerten die du angesprochen hast.
Aber dann muss man sich fragen was das bedeutet, also was es heisst einen Grenzwert zu bilden. Und wenn du das nachschaust, dann findest du entweder das Kriterium für die Folgenstetigkeit oder gerade die Definition mit Epsilon und Delta.
Das heisst das mit dem Limes ist einfach eine Abkürzung. Aber das solltest du erst betrachten wenn du verstanden hast, was Stetigkeit ist.
No idea Auf diesen Beitrag antworten »

Also so wie ich das jetzt verstanden hab, ist Stetigkeit immer nur in einem Punkt definiert. Eine Funktion ist dann stetig, wenn sie es in jedem Punkt z0 ist und man eine Funktion zeichnen kann bei der man "den Stift nicht absetzt". Mathematisch sehr unsauber!!! Und es interessieren nur die Punkte, die erfüllen.Und wenn eine Funktion so stark wächst, wie f(z)=z², dann muss man den Abstand zwischen z und z0 so klein wählen, um die Funktionswerte in zu "finden".
Korrigiere mich bitte, ob die Ansätze soweit stimmen oder nicht.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von No idea
Also so wie ich das jetzt verstanden hab, ist Stetigkeit immer nur in einem Punkt definiert.


Ja. Man sagt auch dass Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist.

Zitat:
Original von No idea
Eine Funktion ist dann stetig, wenn sie es in jedem Punkt z0 ist


Ja.

Zitat:
Original von No idea
und man eine Funktion zeichnen kann bei der man "den Stift nicht absetzt". Mathematisch sehr unsauber!!!


Ja und nein. Das ist natürlich die Idee der Stetigkeit, an der man für reelle Funktionen die Idee entwickeln kann.
Aber wie du bereits sagtest, für eine Funktion müsste man ein Bild in 4 Dimensionen malen.
Nicht so nett.


Zitat:
Original von No idea
Und es interessieren nur die Punkte, die erfüllen.


Ja. Anschaulich:
Wackelt man ein bischen im Definitionsbereich, dürfen die Werte auch nur wenig wackeln.
Die Bedingung "für jedes " [beachte das "jedes"] bedeutet, dass man höchstens um die Funktionswerte wackeln lassen will.
Der Witz ist hier das unscheinbare Wörtchen "jedes". Denn könnte man Epsilon fest wählen, wäre jede Funktion mit einem "Sprung", der eben nicht grösser als das gewählte Epsilon ist, trotzdem stetig. Das ist aber nicht das was man sich vorstellt ["malen ohne Absetzen"].

Stell dir Stetigkeit als ein Spiel vor:
Spieler A gibt ein vor und Spieler B darf sich eine Zahl aussuchen so, dass für alle Punkte , die nicht näher als vom Referenzpunkt weg sind [d.h. erfüllen] immer auch
erfüllt ist.
Kann Spieler B immer solch ein finden, ganz egal was auch Spieler A für ein wählt, dann ist die Funktion stetig.
Das heisst die Funktion ist stetig wenn Spieler B immer gewinnt.
No idea Auf diesen Beitrag antworten »

Großes Lob an dich...das war ein richtig gutes Beispiel mit den Spielern.
Wenn ich das jetzt mal auf die Beweise übertrage, heißt das, dass ich mir epsilon so wählen kann, wie ich das möchte und muss dazu ein delta finden, dass diese Voraussetzungen von dem epsilon erfüllen. Und am besten ist es das epsilon möglichst klein zu wählen, damit der abstand zwischen z und z0 möglichst klein wird und dadurch auch delta sehr klein wird.
Jetzt ist eben nur noch die Frage, wie ich das aufschreibe. Weil bei der aufgabe von f(z)=z² wollte meine Professorin, dass ich das delta, was ich später ausrechne in die voraussetzungen schreibe. Das wiederspricht doch aber dem, was wir eben gesagt haben oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das widerspricht nicht.
Ich sagte zu jedem muss man das finden können so, dass blabla gilt.

Beweisen wir doch mal, dass , definiert durch in einem Punkt stetig ist.
Sei gegeben. [Das heisst ich bin Spieler B. Ich lass mir von Gott oder sonstwem ein Epsilon geben. Mathematisch gesehen steht da einfach: Sei beliebig gewählt. Aber ICH kann es nicht wählen].
Wähle . [Da ich Spieler B bin, darf ich mir ein aussuchen und ich wähle eben dieses. Ich habe schliesslich das Recht, mein Delta in Abhängigkeit vom gegebenen Epsilon und zu wählen].

Dann gilt für alle [das heisst allen die höchstens von entfernt sind]:

Und damit ist stetig.
No idea Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok...so langsam schließen sich die Lücken. Trotzdem muss ich aber am Schluss zeigen, wie ich auf das gewählte gekommen bin.
Wenn ich f(z)=z habe, dann ist weil

und damit ist das vorausgesetzte gezeigt.
Nur bei meinem Beweis von f(z)=z² habe ich ein ganz anderes delta gewählt und zwar:

Und dann muss ich doch am Schluss noch zeigen, wie ich darauf gekommen bin oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du musst niemandem zeigen wie du auf gekommen bist. Schreib es hin und gut ist. Sag du wählst es so.
Für den Beweis ist es vollkommen egal ob du dir viele Gedanken gemacht hast oder es beim Nachbarn gespickt hast oder gut geraten hast.

Aber natürlich hast du Recht, um insgeheim, bevor man den Beweis schreibt, rechnet jeder "Rückwärts" und probiert herum.

Und du siehst sicherlich auch ein, dass man für verschiedene Funktionen nicht das gleiche Delta nutzen kann. Sonst wäre die ganze Theorie auch ein wenig überflüssig Augenzwinkern .
Wie du siehst besteht die Kunst darin das Delta mehr oder weniger geschickt zu wählen. Und da gibt es kein Rezept. Da heisst es üben oder raten - oder beides Big Laugh .

Nun fang doch einfach mal an mit dem Beweis, dass definiert durch stetig ist.

Du kannst im Prinzip genau alles so machen wie ich zuvor für .
Dann versuch dein irgendwie zu nutzen.

Der Trick besteht hier darin, sich an die dritte binomische Formel zu erinnern und sich zu überlegen, wieso wenn gilt, dass dann für solche der Funktionswert durch eine Konstante [abhängig von ] nach oben beschränkt ist.
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