uneigentliche Integrale Textaufgabe

05.12.2009, 20:02	Tannenbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
uneigentliche Integrale Textaufgabe Der Grapg der Funktion f rotiert für x >1 um die x-Achse. Dabei entstehe ein Körper, der sich ins Unendliche erstreckt. Wie gross ist sein Volumen? Habe die Aufgabe so versucht zu lösen: allgemeine Formel: $\begin{eqnarray} V= \pi \int_{1}^{\infty }~\frac{1}{x^{3} } ~dx \end{eqnarray*}$ Stimmt das?
05.12.2009, 20:12	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet denn die Funktion?
05.12.2009, 20:22	Tannenbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: uneigentliche Integrale Textaufgabe Ach ja, hab ich vergessen. Die Funktion lautet: $\begin{eqnarray} f(g) = 1/x^3 \end{eqnarray}$
05.12.2009, 20:42	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Für das Rotationsvolumen musst du die Funktion quadrieren.
05.12.2009, 21:06	Tannenbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Konnte die Aufgabe nun lösen. Hab aber noch zwei andere Probleme: Das erste Problem: Die Fläche, die von der Kurve mit der Gleichung: $\begin{eqnarray} Y=e^{-cx} \end{eqnarray}$ , (c>0), der y-Achse und der positiven x-Achse begrenzt wird, rotiert um die x-Achse. Welcher Wert muss für c gewählt werden, damit der entstehende Rotationskörper das Volumen $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ hat? Mein Lösungsvorschlag: $\begin{eqnarray} 2\pi = \pi \int_{o}^{c}~(e^{-cx})^2 ~dx \end{eqnarray*}$ Wobei ich mir nich sicher mit den Grenzen bin. Stimmt das?
05.12.2009, 21:11	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Integral muss bis unendlich laufen. Die Funktion hat ja keine Nullstelle, deswegen wird die Fläche bis ins Unendliche weiterlaufen.
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05.12.2009, 21:18	Tannenbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Heisst das, dass ich zuerst die Gleichung = 0 setzen muss und dann nach x auflösen? d.h. $\begin{eqnarray} e^{-cx} = 0 \end{eqnarray}$ Wie muss ich auflösen?
05.12.2009, 21:21	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
? Hast du meinen Post gelesen? Die eingeschlossene Fläche ist das Integral der Funktion zwischen x = 0 und der ersten Nullstelle. Die Gleichung hat aber keine Nullstelle, setze deshalb in deine Formel in der oberen Grenze unendlich ein.
05.12.2009, 21:29	Tannenbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich muss ja zuerst herausfinden, dass es KEINE Nullstelle hat. oder kann ich dies irgendwie aus der Formel "herauslesen"? also müsste ich ja eigentlich die Formel = null setzen, um herauszufinden, dass es KEINE Nullstelle gibt. Oder?
05.12.2009, 21:32	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, schon. Aber die e-Funktion hat keine Nullstelle, auch keine Funktion der Form e^(g(x)). Das Auflösen nach 0 würde irgendwann zu einem Term ln(0) führen, das ist aber nicht definiert. Du musst nicht großartig erklären, dass die Funktion keine Nullstelle hat. Es gilt $\begin{eqnarray} e^{cx} > 0 \; \forall \; x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$
05.12.2009, 21:45	Tannenbaum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: uneigentliche Integrale Textaufgabe Danke für die Hilfe. Werde versuchen die Gleichung aufzulösen.

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