n-te Wurzel von.. gleichmäßig stetig

06.12.2009, 01:17

sayana

n-te Wurzel von.. gleichmäßig stetig

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\cdot } : [0,\infty [ -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei eine stetige Funktion.
Ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\cdot } \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig auf $\begin{eqnarray*} [0,\infty [ \end{eqnarray*}$ ? (Begründung!)

Kann ich das folgendermaßen zeigen?

(e soll für epsilon stehen und d für delta, leider existiert das Symbol nicht auf dem Formeleditor in diesem Forum..)

Sei e > 0. Sei |x - y| < d. zu zeigen: aus |x - y| < d folgt |f(x) - f(y)| < e.

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| < \sqrt{|x-y|} < \sqrt{d} = e \end{eqnarray*}$

q.e.d.

(wobei ich mich wundere.. ist das nicht genau das gleiche System mit dem man einfach zeigt, dass eine Funktion stetig ist?)..

LG und danke für jede Hilfe und Antwort

06.12.2009, 11:44

Mazze

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Zitat:

leider existiert das Symbol nicht auf dem Formeleditor in diesem Forum..

$\begin{eqnarray*} \epsilon = \end{eqnarray*}$ \epsilon

$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ = \delta

Das ist fast schon intuitiv. Das Forum verwendet das Latexsystem, und dieses ist überaus vollständig.

Zitat:

wobei ich mich wundere.. ist das nicht genau das gleiche System mit dem man einfach zeigt, dass eine Funktion stetig ist?

Die Definitionen sehen in der Tat sehr geich aus, es gibt aber einen kleinen, sehr wichtigen Unterschied :

Überall stetig :

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ \forall x_0 \in D_f : |x_0 - x| < \delta \Rightarrow |f(x_0) - f(x)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Gleichmäßig Stetig :

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0 ~ \exists \delta > 0 ~ \forall x,y \in D_f : |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Bei der Stetigkeit wird um jedes x_0 eine Umgebung gepackt die kleiner als Delta sein soll. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit werden alle Differenzen betrachtet die kleiner als Delta sein sollen. Sprich, bei der Stetigkeit ist Delta von Epsilon und x_0 abhängig. Bei der Gleichmäßigen Stetigkeit ist Delta nur noch von Epsilon abhängig.

Ich kenne den Beweis aber wie folgt :

Für $\begin{eqnarray*} x,y \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ kann man abschätzen :

$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\right| \leq \frac{1}{n}|x - y| \end{eqnarray*}$ , damit bekommt man die gleichmäßige Stetigkeit auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ Kompakt ist, und die n-te Wurzel auf dem Interval stetig ist, ist sie nach dem Satz von Heine auch gleichmäßig Stetig.

06.12.2009, 12:49

sayana

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mit dem Unterschied von der gleichmäßigen Stetigkeit und der allgemeinen Stetigkeit, habe ich mir den Unterschied bei Wikipedia angeschaut (da ist ein tolles Bild dazu). Danach habe ich es auch verstanden.
Ebenfalls kannte ich das mit der Abhängigkeit. Wobei ich nicht wusste, wie ich das mit der Abhängigkeit zeigen kann.

Aber ich muss zugeben, wo genau der Unterschied in der Formelschreibweise liegt und was für Folgen der Unterschied konkret bei der Anwendung der "Formel" hat, habe ich leider gar nicht verstanden. Ich sehe den Unterschied, aber die Bedeutung .. ?
Ich versuche es mal: Der Unterschied liegt also darin, dass x und y aus dem Definitionsbereich der Funktion ist (im Fall dieser Aufgabe also ab 0 bis unendlich) und für alle x und y die Differenz kleiner als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist, woraus dann folgt, dass $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < \epsilon. \end{eqnarray*}$ . Hab ich das richtig verstanden?
Da ich bei meinem Versuch x und y aus dem Definitionsbereich gewählt habe, müsste mein Teil doch eigentl. stimmen, oder? Was meinst du zu meinem Versuch?

Zitat:

Ich kenne den Beweis aber wie folgt :

Für $\begin{eqnarray*} x,y \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ kann man abschätzen :

$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\right| \leq \frac{1}{n}|x - y| \end{eqnarray*}$ , damit bekommt man die gleichmäßige Stetigkeit auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ Kompakt ist, und die n-te Wurzel auf dem Interval stetig ist, ist sie nach dem Satz von Heine auch gleichmäßig Stetig.

Wie kommst du auf diesen Schritt :
$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\right| \leq \frac{1}{n}|x - y| \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für deine Bemühungen und deine Antwort.
LG, say

06.12.2009, 13:14

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\right| \leq \frac{1}{n}|x - y| \end{eqnarray*}$

Der Trick ist das richtige aufschreiben. Es ist :

$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\right| = \left|\frac{(\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}) * (x^{\frac{n-1}{n}} + x^{\frac{n-2}{n}}y + ... + y^{\frac{n-1}{n}})}{x^{\frac{n-1}{n}} + x^{\frac{n-2}{n}}y + ... + y^{\frac{n-1}{n}}}\right| = \frac{|x - y|}{x^{\frac{n-1}{n}} + x^{\frac{n-2}{n}}y + ... + y^{\frac{n-1}{n}}} \leq ... \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt ist einfach nur erweitern, den zweiten Schritt musst Du dir aber klar machen.

Zitat:

Ich versuche es mal: Der Unterschied liegt also darin, dass x und y aus dem Definitionsbereich der Funktion ist (im Fall dieser Aufgabe also ab 0 bis unendlich) und für alle x und y die Differenz kleiner als $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist, woraus dann folgt, dass $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| < \epsilon. \end{eqnarray*}$ . Hab ich das richtig verstanden?

Ja, ganz genau.

Zitat:

Was meinst du zu meinem Versuch?

Nun ja, ich kann nicht sofort sehen das die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left| \sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\right| \leq \sqrt[n]{|x - y|} \end{eqnarray*}$

gilt. Daher hab ich dir den Weg gezeigt, wie ich es kenne. Falls diese Ungleichung stimmt, und ihr sie bewiesen habt, so ist dein Weg richtig.

06.12.2009, 16:53

sayana

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Zitat:

Nun ja, ich kann nicht sofort sehen das die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left| \sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{y}\right| \leq \sqrt[n]{|x - y|} \end{eqnarray*}$

gilt.

Ja, diesen Schritt haben wir bereits bewiesen. ^^
Deshalb hab ich den auch verwendet.

Danke für deine Hilfe! Freude

Jetzt hab ich alles auch besser verstanden! smile

LG, say

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