Differenzierbarkeit durch h-Methode

06.12.2009, 10:17

Rainer

Differenzierbarkeit durch h-Methode

Hallo, Ich habe bald Mathe-Klausur und hab noch eine Frage bezüglich der Differenzierbarkeit, die ich mit der h-Methode berechnen muss.
Wenn ich eine Funktion mit Betrag habe

z.B.: | x² - 2 | spalte ich die Funktion erst auf in x² - 2
-x² + 2
und verwende dann bei beiden die h-Methode.

aber, wenn ich eine Funktion wie x² - 2 habe kann ich ja keine abspaltungen machen
und muss ich es dann so machen...?

f(x) = x² - 2 xo = 1

h > 0 : (f(x+h) - f(x)) / h
h < 0 : (f(x-h) - f(x)) / h

würde das so stimmen und muss ich dann nur noch für x einsetzen.
Ich bitte um Lösungsvorschläge.
Danke Rainer

06.12.2009, 10:33

system-agent

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RE: Differenzierbarkeit durch h-Methode

Zitat:

Original von Rainer

aber, wenn ich eine Funktion wie x² - 2 habe kann ich ja keine abspaltungen machen
und muss ich es dann so machen...?

Dann brauchst du schlicht keine Fallunterscheidung machen. Arbeit gespart Augenzwinkern

.

Falls du also die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2 \end{eqnarray*}$ hast, dann bildest du den bekannten Quotienten
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
durch Einsetzen, rechnest solange bis du $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ bilden kannst.

Der Grund für die Fallunterscheidung oben ist, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
seine Gestalt ändert, dh. die Funktion ändert ihre Gestalt, je nachdem ob $\begin{eqnarray*} h>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h<0 \end{eqnarray*}$ gilt.

06.12.2009, 16:21

Rainer

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falls du also die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-2 \end{eqnarray*}$ hast, dann bildest du den bekannten Quotienten
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
durch Einsetzen, rechnest solange bis du $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ bilden kannst.

aber wenn ich nur das mache bekomme ich ja nur die Ableitung der Funktion und ich weiß nicht ob sie differenzierbar ist oder nicht.

06.12.2009, 16:58

system-agent

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Andersherum:
Eine Funktion heisst in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar genau dann, wenn der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$
existiert.

Mit anderen Worten:
Findest du dass der Grenzwert existiert, dann ist deine Funktion in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar.

06.12.2009, 17:33

Rainer

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und wenn ich es allgemein wissen will ob die Funktion differenzierbar ist ?
dann kann ich ja keine werte einsetzen.
Wie müsste ich das dann machen?

06.12.2009, 17:43

system-agent

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Dann musst du $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ allgemein lassen und die gleiche Rechnung eben allgemein machen. Dabei gut aufpassen ob es irgendwo Probleme geben könnte und diese Stelle ggf. separat betrachten.

Nimm deine zweite Funktion. Nehmen wir $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{(x_0+h)^2-2-(x_0^2-2)}{h}=\frac{2x_0h+h^2}{h}=2x_0+h \end{eqnarray*}$

Hier haben wir nirgendwo ein Problem in der Umformung gehabt und $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ macht auch keine Probleme.
Also hat man dann:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{h\to0}(2x_0+h)=2x_0 \end{eqnarray*}$
und damit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar.
Da $\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig war ist die Funktion überall differenzierbar.

06.12.2009, 17:56

Rainer

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Achso jetzt.
Vielen Dank

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