Maximale System linear unabhängiger Eigenvektoren

06.12.2009, 15:51	Georgie	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale System linear unabhängiger Eigenvektoren Hallo, wenn ich eine Matrix habe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann sind ja die Eigenwerte -2,3 und die dazugehörigen Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} t \cdot \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ \end{pmatrix}^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \end{pmatrix}^T \end{eqnarray}$ . Jetzt steht aber in der Aufgabe ich solle ein Maximales System linear unabhängiger Eigenvektoren bestimmen. Wie geht das?
06.12.2009, 16:17	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximale System linear unabhängiger Eigenvektoren Du hast dir da gewissermaßen selbst ein Bein gestellt... Die Eigenwerte und Eigenvektoren sind zwar richtig, aber man gibt letztere üblicherweise z.B. in der Form $\begin{eqnarray} (1,-4)^T \text{ bzw. } (1,1)^T \end{eqnarray}$ an... Damit kannst du dir deine Frage nach einem maximalen System von linear unabhängigen Eigenvektoren wohl leicht selbst beantworten, oder?
06.12.2009, 16:27	Georgie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok und wenn ich jetzt z.B. $\begin{eqnarray} (1,-1)^T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-4,4)^T \end{eqnarray}$ bekommen würde dann wäre das maximale System: $\begin{eqnarray} t \cdot (1,-1)^T \end{eqnarray}$
06.12.2009, 16:31	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ein maximales System wäre z.B. $\begin{eqnarray} \{(1,-1)^T\} \end{eqnarray}$ Die wären dann alle 1-elementig...Lass um Himmels willen diese komischen t's bei den Eigenvektorangaben weg...
06.12.2009, 17:06	Georgie	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie bestimme ich dieses System bei dieser Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3&-10&-10 \\ 0&3&0 \\ 0&-5&-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als Eigenwert komme ich auf: -2,3 Der erste Eigenvektor ist also $\begin{eqnarray} (2,0,1)^T \end{eqnarray}$ Beim Gleichungssystem für den 2. Komme ich auf diese Lösung: $\begin{eqnarray} x_1=t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=-u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=u \end{eqnarray}$
06.12.2009, 18:17	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, ist das nicht sonnenklar? Du nimmst auf jeden Fall den ersten Eigenvektor, wählst dann dann aus der Lösungsgesamtheit für den 2.Eigenwert zwei linear unabhängige dazu aus, z.B. für t=1, u=0 und t=0,u=1, und fertig ist dein maximales System...
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