Potenzreihe |
| 09.06.2004, 22:42 | Simon | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Potenzreihe |
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| 09.06.2004, 22:48 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schau dir mal diesen Thread an: --> KLICK Da wird zwar nicht deine Funktion behandelt, aber das Verfahren beschrieben (Tayorentwicklung). |
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| 10.06.2004, 00:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kennst du die Reihe von e^x? Wenn ja, dann kannst du es am schnellsten so machen: 1. e^x-Reihe 2. In e^x-Reihe x durch -x substituieren -> e^(-x)-Reihe Die Addition beider Reihen führt dazu, daß die Glieder mit ungeradem Index wegfallen und die Glieder mit geradem Index verdoppelt werden (und positiv ausfallen). Diese Verdoppelung wird mit dem Faktor ½ wieder rückgängig gemacht. Fertig! Bei f(x) handelt es sich übrigens um den sogenannten cosinus hyperbolicus: f(x) = cosh x . Hier geht es aber auch leicht mit Hilfe der Taylorschen Formel, wie von Irrlicht vorgeschlagen, da die Ableitungen von f sich einfach errechnen lassen. |
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| 10.06.2004, 16:44 | Simon | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schon mal vielen Dank für eure Hilfe! Ich habe jetzt das Ergebnis der Potenzreihe: 1+x²/2!+x^4/4!+.... Jetzt soll ich noch den Konvergenzradius bestimmen. Könnte mir vielleicht jemand einen Tip geben wie ich das hier machen muss. |
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| 10.06.2004, 16:56 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den Konvergenzradius kannst du zum Beispiel mit der Cauchy-Hadamard-Formel bestimmen. Es gibt aber auch den Satz, dass die gliedweise Summe von zwei Potenzreihen mit gleichem Entwicklungspunkt, deren Konvergenzradius mindestens r ist, ebenfalls mindestens den Konvergenzradius r hat. Und da die Reihen von exp(x) und exp(-x) auf ganz R konvergieren (den Konvergenzradius unendlich haben), konvergiert also die Summe - die Reihe von cosh(x) - auf ganz R. |
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