monotone Funktion immer stetig oder Sprungstelle

06.12.2009, 17:23	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
monotone Funktion immer stetig oder Sprungstelle Hi, habe noch eine Aufgabe wo ich nicht weiterkomme... und zwar ist gegeben dass f: R-->R eine montone Funktion ist. zu zeigen ist, dass f in jedem Punkt stetig ist oder eine Sprungstelle hat. zum Beweis, habe ich mir jetzt erst einmal ein a aus R gewählt und eine Folge (xn) aus R für die gilt: xn<gleich a und eine zweite Folge (yn) aus R für die gilt: yn>gleich a dann wäre ja $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}x_n = a \end{eqnarray}$ und auch $\begin{eqnarray} \lim_{n \to 0}y_n = a \end{eqnarray}$ oder? nun könnte man ja die grenzwerte von der funktion betrachten, also einmal den grenzwert für f(t) wobei sich t von unten an a annähert und den grenzwert dass sich t von oben an a annähert. was würde das aber jetzt genau bedeuten? kann mir jemand da weiter helfen oder hat noch einen anderen ansatz für mich? LG Lili
07.12.2009, 11:11	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir denn niemand weiterhelfen
07.12.2009, 11:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie genau ist denn eine Sprungstelle definiert? Dass links- und rechtsseitiger Grenzwert jeweils existieren, aber nicht beide gleich dem Funktionswert sind?
07.12.2009, 15:43	lilithilli1210	Auf diesen Beitrag antworten »
eine sprungstelle haben wir wie folgt definiert: f: D-->D hat in a aus D eine Sprungstelle falls die einseitigen Grenzwerte lim x von unten gegen a f(x) und lim x von oben gegen a f(x) exisitieren und verschieden sind. aber wie kann ich das denn rausfinden??
07.12.2009, 16:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann musst du letztendlich folgendes zeigen: Bei einer monotonen Funktionen existieren für jedes a aus dem Definitionsbereich die einseitigen Grenzwerte von f(x) für x gegen a. Für eine monoton steigende Funktion und den linkseitigen Grenzwert z.b. so: Sei $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb N}, a_n \in D \end{eqnarray}$ eine beliebige gegen $\begin{eqnarray} a \in D \end{eqnarray}$ konvergente Folge mit $\begin{eqnarray} a_n < a \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist nach unten beschränkt, sei $\begin{eqnarray} s \in D \end{eqnarray}$ eine untere Schranke. Dann gilt $\begin{eqnarray} f(s) \leq f(a_n) \leq f(a) \end{eqnarray}$ . Also besitzt $\begin{eqnarray} f(a_n) \end{eqnarray}$ mind. einen Häfungspunkt. Nehme an es gibt 2 und folgere daraus einen Widerspruch.

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