Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen

06.12.2009, 19:14	Explo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen Sei an eine Folge natürlicher Zahlen mit an € (0,...,9), n>= 1 Beweisen sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~ak \left(\frac{1}{10}\right)^{n} \end{eqnarray}$ konvergiert. Also ich hab überlegt das mitm Quotientenkriterium zu machen.. komme dann auf $\begin{eqnarray} \frac{a(k+1)}{ak} * \frac{1}{10} < q \end{eqnarray}$ weiß nur nicht, wie es weitergehen soll dann, weil das ja i.wie nicht erfüllt sein muss.. oder? Weiter soll ich dann noch zeigen, dass ich eine reelle Zahl x so darstellen kann ... Ich mein das is völlig klar ... nur wie zeigt man sowas? Weil eine reelle Zahl ist ja eigtl. nicht für die dezimaldarstellung gedacht. Reicht es zu sagen (so grob): "x wird dargestellt mit x0,x1 x2 x3 x4 ... xn (bzw kann dargestellt werden) wobei $\begin{eqnarray} xn = bn * (\frac{1}{10})^{n} \end{eqnarray}$ mit bn € (o,...,9) => x = x0 + x1 + x2 + x3 + ... + xn => x = $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~ak * \left(\frac{1}{10}\right)^{n} \end{eqnarray}$ Gibt auch nochn dritten Teil der Aufgabe, den ich gar nichtmal verstehe .. also: Weisen sie nach, dass man in b) die Folge ohne Neunerperiode* wählen kann, d.h. sodass $\begin{eqnarray} \forall n \mathbb N \exists l \geq n : al \neq 9 \end{eqnarray}$ Überprüfen sie auch, dass die FOlge ohne Neunerperiode eindeutig durch x festgelegt ist. (n ist Element der natürlichen Zahlen kA wie ich Element schreibe xD) Aaalso .. ich versteh an sich die Aufgabe nicht .. Das heisst doch nur, dass ich nachweisen soll, dass ich nen x ohne neunerperiode wählen kann oder? (Welches ich ja dann auch überprüfen soll) aber das tue ich ja auch schon in b) oder?
06.12.2009, 20:27	Jako	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~a_{k} \left(\frac{1}{10}\right)^{n}<br /> <br /> = a_0 , a_1 a_2 a_3 ... a_n \end{eqnarray}$ z. B. 7,643 ... 5 Um die Konvergenz von ner Reihe zu zeigen, kann man ja auch zeigen, dass es dem Cauchy-Kriterium für Konvergenz von Reihen genügt. Dafür macht man dann ne Differenz von Partialsummen. z.B.: $\begin{eqnarray} s_{n+1} - s_n = 0, 00 ... a_{n+1} \end{eqnarray*}$ das geht ja gegen Null.
06.12.2009, 20:46	Explo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aah ok dankeschön. Mit Partialsummen hab ichs bisher noch nich so wirklich deswegen denk ich eher seltener dran xD Jemand was zu dem 2 & 3. Teil? Ich komm da nich weiter ..

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