Erzeugendes System?

Neue Frage »

Explo Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendes System?
*kopfkratz*
Also ich poste einfach meine Aufgabe:

In -Vektorraum seien Man beweise:

{n1, n2, n3, n4} ist eine Basis
Hab ich gemacht indem ich zeigte, dass jeder vektor durch die 1en dann darstellbar ist und dass die Vektoren lin. unabhängig sind.

{a,n2,n3,n4} ist eine Basis.
lin. unabhängigkeit hab ich gezeigt aber wie zeig ich hier, dass das ein erzeugendes System ist? i.wie fehlt mir da jeglicher Ansatz :/

{n1,b,n3,n4} ist eine Basis
hier gilt das gleiche^^

{a,b,n3,n4} ist keine Basis
hab ich gezeigt indem ich zegte, dass (3,3,0,0) nicht darstellbar ist

Also wie gesagt mir fehlt i.wie was, wie ich zeige, dass das ein erzeugendes System ist.

Achso und bevor ich noch ein Thema extra aufmache:

In spannen die Vektoren

(1,1,0,1,1) , (0,0,1,1,0), (0,1,0,0,0), (1,0,0,1,1), (1,0,1,0,1) einen Unterraum U auf.

(i) Man bestimme die Dimension und eine Basis von U
(ii) Man bearbeite (i) für den Fall, dass ersetzt wird durch den Körper K= {0,1} mit 2 Elementen.



Daraus folgt, dass die Dimension 5 ist oder? (weil )
Die Basis sind doch alle Vektoren ... weil laut unserem Skript: "Eine Teilmenge B heisst Basis, falls B ... V aufspannt .. wenn ich B nun = der vektoren setze, dann ist die Basis = B oder?

Nur wenn dem so ist, dann kommt ja bei (ii) das gleiche raus
sprich die Dimension ist immernoch 5 und die Basis immernoch B verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hab ich gemacht indem ich zeigte, dass jeder vektor durch die 1en dann darstellbar ist und dass die Vektoren lin. unabhängig sind.


Das ist leider nicht alles.
Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem oder, anders gesagt, ein maximal linear unabhängiges E-System.

Du müsstest also noch zeigen, dass die Menge auch maximal linear unabhängig ist.

Und zur letzten Aufgabe: Der IR^5 hat die Dimension 5, aber das muss für einen Unterraum ja noch lange nicht gelten.
Die Dimension ist gleich der Anzahl der Basisvektoren. Hast du also eine Basis von U, dann hast du auch die Dimension.

air
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

die maximale lineare unabhängigkeit kann ich ja zeigen indem ich dann zeige, dass jeder andere vektor (w,x,y,z) darstellbar ist oder?

und zu der anderen aufgabe kannst du/ i.jmdn mir da vielleicht noch nen ansatz auf die schnelle sagen?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Explo
die maximale lineare unabhängigkeit kann ich ja zeigen indem ich dann zeige, dass jeder andere vektor (w,x,y,z) darstellbar ist oder?


Oh sorry, da hatte ich mich wohl verlesen. Ja, stimmt natürlich!

Zu der nächsten:
Du kannst n_1 als n_1 = a - 2n_2 - 3n_3 - 4_n4 darstellen. Insbesondere ist also n_1 im linearen Aufspann dieser potenziellen Basis enthalten. Das impliziert aber gerade, dass diese potenzielle Basis ein Erzeugendensystem sein muss, da alle Vektoren enthalten sind, die in der ersten Aufgabe enthalten sind - und da war es ja ein Erzeugendensystem.

air
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

na ja, wenn du am anfang zeigst, dass die vier vektoren eine basis bilden, dann weißt du ja, dass dein vektorraum die dimension vier hat. d.h. jedes system aus vier linear unabhängigen vektoren ist eine basis. damit genügt es im zweiten fall schon zu zeigen, dass die vier linear unabhängig sind, denn dann sind sie ja ein "maximales linear unabhängiges system" aka basis.
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

im dritten fall kannst du genauso argumentieren.

und im vierten fall zeigst du, dass die vier kein linear unabhängiges system bilden. also sind sie keine basis. denn jede basis hat ja bekanntermaßen gleich viele elemente (in deinem fall vier).
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wie man sieht, gibt es eben mal wieder mehrere Zugänge zur Lösung. Augenzwinkern

air
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

also da ich im ersten zeigte, dass es eine basis ist .. hab ich gezeigt, dass es die dimension 4 hat ...
sprich ich brauch bei 2 und 3 nur noch zeigen, dass sie lin. unabhängig sind?

=> zu dem anderen Teil also mit den 1,1,0,0,1 usw jmd. viielleicht ne idee?

achso und natürlich vielen vielen dank für die hilfe =)

Ich dachte immer die Dimension = Anzahl der Elemente die ein Vektor hat :S
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

ja, du stellst eine linearkombination der vektoren zu 0 auf. schreibst das ganze in ein gleichungssystem, bringst es auf dreiecksgestalt und dann siehst du, wie viele der koeffizienten du frei wählen kannst. dann kannst du z.b. die vektoren zu all den koeffizienten, die du frei wählen konntest, rausschmeißen und die restlichen bilden eine basis. denn logisch: wenn du diese spalten aus dem gleichungssystem entfernst, bleibt ja eine quadratische koeffizientenmatrix in dreiecksform übrig. also gibt es nur eine lösung bei der linearkombination zu 0. also sind die verbleibenden zugehörigen vektoren linear unabhängig. da der unterraum über sie definiert wurde, sind sie dann auch eine basis.
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du jetzt bei dem letzten teil der aufgabe ?
guck ich mir gleich mal genauer an :p
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

+ 1x + 1u + 1v = 0
+ 1y + 1v = 0
+ 1z - 1u - 1v = 0
- 2v = 0
= 0

v= 0 ... dann ist y = 0 ..
dann kann ich z,x, u frei wählen wobei x= -z ist .. aber das ja egal xD

soo also hab ich nur noch den 2. ( 0,0,1,1,0) und den 5. also (1,0,1,0,1)

das ist dann also die Basis? .. und die dimension ist dann schlussfolgernd 2... oder?

Stellt sich mir grad die Frage, was das fürn unterschied machen soll, wenn K = {0,1} ... o.ô


Edit: Wenn man das schön ausschreibt, ises ne schoene Dreiecksgestalt :-p
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »