Teilermengen & Primfaktorzerlegung! |
| 07.12.2009, 11:05 | Eisbär89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Teilermengen & Primfaktorzerlegung! Beweisen oder widerlegen Sie : Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen mit genau 9 Teilern. Es ist mir schleierhaft, wie ich das lösen soll.. Trotzdem ein paar Gedanken von mir, vlt. lassen sich die ja irgendwie verwerten! Aufgrund dessen, dass es zu jedem Teiler einen Komplementärteiler gibt, gibt es ja immer eine gerade Anzahl an Teilermengen! Ausgenommen Quadratzahlen, wo die Anzahl ungerade ist! Das bedeutet in diesem Fall, dass ja nur Quadratzahlen in Frage kommen, aber davon auch nicht alle... Nun gilt ja, dass es für jede Zahl eine Primfaktorzerlegung gibt und es unendlich viele Primzahlen gibt... Zu Bestimmung aller Zahlen mit 9 Teilern hätte ich es nun so saufgeschrieben: a = p1 ^ a1 * p2 ^a2 * ... * pn ^an Um auf die 9 Teiler zu kommen, müsste doch gelten: a = p1 ^2 * p2 ^2 Dann gäbe es 9 Teiler... Aber vlt. geh ich auch falsch an das ganze ran.. Hab zumindest ka, wie ich beweisen soll, dass es unendlich viele Zahlen geben soll, wo das zutrifft... |
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| 07.12.2009, 11:13 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Überlegung ist schon richtig. Eine Zahl n hat schon dann 9 Teiler, wenn es Primzahlen gibt mit . Die Teiler sind dann Gibt es davon unendlich oder nur endlich viele? |
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| 07.12.2009, 11:17 | Eisbär89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da es undendlich viele Primnzahlen gibt, müssten es unendlich viele sein, die existieren... Oder? man hätte theoretisch auch n=p1^8* p2^0 machen können oder? |
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| 07.12.2009, 11:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hätte man auch ja. Und ja, es gibt davon unendlich viele. Als Beweis nimmt man einfach die unendliche Folge der Primzahlen und definiert eine Folge durch . Oder wahlweise auch durch |
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| 07.12.2009, 11:32 | Eisbär89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sry.. aber jetzt bin ich verwirrt =/ Ist die Folge an dann... (pn): 2,3,4,5,.... und (an): 36, 225, ..., (pnpn+1)² ? Muss ich noch irgendwie angeben, warum es unendlich viele Primzahlen gibt? |
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| 08.12.2009, 06:49 | Eisbär89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm... Könnte mir bitte wer weiterhelfen? |
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| 08.12.2009, 10:12 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kommt ganz drauf an, ob ihr das vorraussetzen dürft oder nicht. Im Normalfall aber schon. Das ist ja schließlich Teil des Fundamentalsatz der Arithmetik und sollte in jeder Vorlesung, die auch nur ein bisschen mit Zahlentheorie zu tun hat, als allererstes drankommen. |
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| 08.12.2009, 13:15 | TheBoss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das der Satz des Euklids? Weil den hatten wir bisher noch nicht.. hab nur im netz gelesen, dass dieser besagt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt... Hatten bisher nur den Hauptsatz der Arithmetik! Sind die Folgen so richtig? Und: Dass man für 9 Teiler (p1p2)² macht, ist ja schon aufgrund der normierten Primfaktorzerlegung bewiesen oder? |
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