Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

07.12.2009, 11:26

Dimedroll

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Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Hallo zusammen. Ich bin jetzt in der 12. FOS. Und muss ein Fachreferat schreiben, das Thema lautet "Diskussion einer vorgegebenen gebrochen rationalen Funktion mit Parameter" d.h. ich muss eine Kurvendiskussion machen.
Die Funktion lautet fk(x)=(x^2+x-2)/(2kx-x^2) (K ist beliebig) DEFmax (0;2k)

Die erste Ableitung: fk´(x)=(2kx^2+x^2+4k-4x)/(2kx-x^2)^2
Die zweite Ableitung: fk´´(x)=-(2x-4k)^2/(2kx-x^2)^3

Jetzt zu meinem Problem. Also wenn ich den Wendepunkt mit Abhängigkeit von k ausrechne kommt W(2k; ) raus, und das ist nicht in DEF, d.h. es gibt kein Wendepunkt oder? Aber wenn ich zum Beispiel für k -2 einsetze, sieht man einen Wendepunkt bei ca W(-2;0). Und wenn ich das Krümmungsverhalten untersuche kommt auch was anderes als bei der Zeichnung raus.

Ich hoffe mein Deutsch war so gut, dass man es verstehen kann. Hoffe ihr könnt mir helfen.

07.12.2009, 11:52

klarsoweit

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RE: Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Original von Dimedroll
Die zweite Ableitung: fk´´(x)=-(2x-4k)^2/(2kx-x^2)^3

Es wäre schön, wenn du Latex nehmen könntest: $\begin{eqnarray*} f_k''(x) = \frac{-(2x-4k)^2}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich für die 2. Ableitung ein anderes Ergebnis. Ich will nicht behaupten, daß ich richtig gerechnet habe, aber du solltest mal deine Rechnung hier posten.

07.12.2009, 12:36

Dimedroll

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$\begin{eqnarray*} f(x)=(2kx^2+x^2+4k-4x)/(2kx-x^2)^3 \end{eqnarray*}$ die erste Ableistung
$\begin{eqnarray*} =(2kx-x^2)^2*(4kx+2x-4)-((2kx^2+x^2+4k-4x)*(2*(2kx-x^2)*(2k-x))/(2kx-x^2)^4 \end{eqnarray*}$
oben kann man dass $\begin{eqnarray*} (2kx-x^2) \end{eqnarray*}$ kürzen mit dem nenner, dass kommt dann raus
$\begin{eqnarray*} =(8k^2x^2+4kx^2-8kx-4kx^3-2x^3+4x^2)-(8k^2x^2-4kx^3+4kx^2-2x^3+16k^2-8kx-16kx+8x^2)/(2kx-x^2)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(-16k^2+16kx-4x^2)/(2kx-x^2)^3=-(2x-4k)^2/(2kx-x^2)^3 \end{eqnarray*}$

dass mit dem Bruchstrich hab ich nicht verstanden, wie man dass macht

07.12.2009, 12:43

Mulder

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Zitat:

Original von Dimedroll
dass mit dem Bruchstrich hab ich nicht verstanden, wie man dass macht

Du hättest doch klarsoweit mal zitieren können, dann siehst du seinen Quelltext und auch, wie ein Bruch in der Latex-Umgebung funktioniert:

code:
1:	[latex]\frac{Zähler}{Nenner}[/latex]

... liefert: $\begin{eqnarray*} \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \end{eqnarray*}$

In die beiden geschweiften Klammern also einfach die jeweiligen Terme eingeben. Siehe dazu als Hilfe auch den Formeleditor des Forums, der dir vieles abnimmt.

07.12.2009, 12:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dimedroll
$\begin{eqnarray*} =(2kx-x^2)^2*(4kx+2x-4)-((2kx^2+x^2+4k-4x)*(2*(2kx-x^2)*(2k-x))/(2kx-x^2)^4 \end{eqnarray*}$

Es wäre schön, wenn du wenigstens noch "f''(x)=" davor geschrieben hättest. Der letzte Faktor im Zähler muß (2k-2x) lauten.

07.12.2009, 13:00

Dimedroll

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RE: Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Dimedroll
Die zweite Ableitung: fk´´(x)=-(2x-4k)^2/(2kx-x^2)^3

Es wäre schön, wenn du Latex nehmen könntest: $\begin{eqnarray*} f_k''(x) = \frac{-(2x-4k)^2}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich für die 2. Ableitung ein anderes Ergebnis. Ich will nicht behaupten, daß ich richtig gerechnet habe, aber du solltest mal deine Rechnung hier posten.

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)= \frac{ (2kx^2+x^2+4k-4x)}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{(2kx-x^2)^2*(4kx+2x-4)-((2kx^2+x^2+4k-4x)*(2*(2kx-x^2)*(2k-x))}{(2kx-x^2)^4} \end{eqnarray*}$
oben kann man dass $\begin{eqnarray*} (2kx-x^2) \end{eqnarray*}$ kürzen mit dem nenner, dass kommt dann raus
$\begin{eqnarray*} =\frac{(8k^2x^2+4kx^2-8kx-4kx^3-2x^3+4x^2)-(8k^2x^2-4kx^3+4kx^2-2x^3+16k^2-8kx-16kx+8x^2)}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{(-16k^2+16kx-4x^2)}{(2kx-x^2)^3}=\frac{-(2x-4k)^2}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$

So sieht mein Rechenweg aus

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07.12.2009, 13:02

Dimedroll

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Dimedroll
$\begin{eqnarray*} =(2kx-x^2)^2*(4kx+2x-4)-((2kx^2+x^2+4k-4x)*(2*(2kx-x^2)*(2k-x))/(2kx-x^2)^4 \end{eqnarray*}$

Es wäre schön, wenn du wenigstens noch "f''(x)=" davor geschrieben hättest. Der letzte Faktor im Zähler muß (2k-2x) lauten.

Ich werde mich bessern. Danke vielmals, natürlich, wie konnte ich das nur übersehen. Vielen Dank

07.12.2009, 16:22

Dimedroll

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$\begin{eqnarray*} f_k''(x)=\frac{4kx^3+2x^3-16k^2-12x^2+24kx}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$

das krieg ich jetzt für die zweite Ableitung. Und ich weiß nicht mehr weiter. Stimmt die diesmal, oder hab ich wieder ein Fehler gemacht?
Wie soll ich die jetzt lösen, das ist ja eine kubische Gleichung.

07.12.2009, 16:46

klarsoweit

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Zumindest habe ich für die 2. Ableitung das gleiche Ergebnis. Allerdings ist die Bestimmung der Nullstellen sehr unerquicklich, so daß ich eher an den Punkt komme, wo ich frage, ob die Funktion richtig abgeschrieben ist. (Oder wir haben beide den gleichen Rechenfehler gemacht.) Ich werde mythos mal eine pn schicken. Vielleicht hat er noch eine Idee.

07.12.2009, 17:05

Dimedroll

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Zitat:

Original von klarsoweit
Zumindest habe ich für die 2. Ableitung das gleiche Ergebnis. Allerdings ist die Bestimmung der Nullstellen sehr unerquicklich, so daß ich eher an den Punkt komme, wo ich frage, ob die Funktion richtig abgeschrieben ist. (Oder wir haben beide den gleichen Rechenfehler gemacht.) Ich werde mythos mal eine pn schicken. Vielleicht hat er noch eine Idee.

Ok alles klar, danke. Die Funktion ist schon richtig abgeschrieben, da habe ich keine Zweifel. Dann werde ich weiterrechnen und warte ob er eine idee hat.

07.12.2009, 19:25

mYthos

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RE: Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Original von Dimedroll
...
$\begin{eqnarray*} f_k'(x)= \frac{ (2kx^2+x^2+4k-4x)}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$
...

Bis daher stimmt das bereits bei dir im Nenner nicht. Daher brauchst du damit ab hier schon nicht mehr weiterrechnen.

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)= \frac{2kx^2+x^2-4x+4k}{(2kx-x^2)^2} \end{eqnarray*}$

Ich habe das noch ein wenig umgeformt:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)= \frac{(2k+1)x^2-4x+4k}{x^2(2k-x)^2} \end{eqnarray*}$

Bei der 2. Ableitung kann dann der Bruch noch durch x(2k -x) gekürzt werden, und bei richtiger Rechnung ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f_k''(x)= 2 \cdot \frac{(2k+1)x^3-6x^2+12kx-8k}{x^3(2k-x)^3} \end{eqnarray*}$

EDIT: Schreibfehler im Zähler ... (sh. u.)

Und das unterscheidet sich zwar von deinem Resultat, hat aber nichtsdestoweniger ebenfalls ein kubisches Polynom im Zähler. Bei dessen Nullsetzen kommst deshalb mit einfachen Methoden auch nicht weiter.

Was du machen kannst, ist, für k verschiedene Werte einsetzen und von diesen Kurven jeweils den Wendepunkt bestimmen. Die zugehörige kubische Gleichung wird mittels eines Näherungsverfahrens gelöst.

k = +1: xw = 0,885
k = +2: xw = 1,299
k = - 2: xw = -1,476

mY+

08.12.2009, 09:39

klarsoweit

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RE: Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} f_k''(x)= 2 \cdot \frac{(2k+1)x^3-6x^2+12kx-8k}{x^3(2k-x)^3} \end{eqnarray*}$

Und das unterscheidet sich zwar von deinem Resultat

Und zwar nur durch das Quadrat an dem k im letzten Summanden im Zähler. Ich habe aber auch das Ergebnis von Dimedroll. Kannst du dein Ergebnis nochmal prüfen?

08.12.2009, 10:17

Eierkopf

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RE: Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} f_k''(x)= 2 \cdot \frac{(2k+1)x^3-6x^2+12kx-8k}{x^3(2k-x)^3} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f_k''(x)= 2 \cdot \frac{(2k+1)x^3-6x^2+12kx-8k^2}{x^3(2k-x)^3} \end{eqnarray*}$ ,
insofern stimme ich mit letztem Post überein.

08.12.2009, 12:26

Dimedroll

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RE: Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Original von mYthos

Zitat:

Original von Dimedroll
...
$\begin{eqnarray*} f_k'(x)= \frac{ (2kx^2+x^2+4k-4x)}{(2kx-x^2)^3} \end{eqnarray*}$
...

Bis daher stimmt das bereits bei dir im Nenner nicht. Daher brauchst du damit ab hier schon nicht mehr weiterrechnen.

Richtig wäre:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)= \frac{2kx^2+x^2-4x+4k}{(2kx-x^2)^2} \end{eqnarray*}$

Ich habe das noch ein wenig umgeformt:

$\begin{eqnarray*} f_k'(x)= \frac{(2k+1)x^2-4x+4k}{x^2(2k-x)^2} \end{eqnarray*}$

Bei der 2. Ableitung kann dann der Bruch noch durch x(2k -x) gekürzt werden, und bei richtiger Rechnung ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f_k''(x)= 2 \cdot \frac{(2k+1)x^3-6x^2+12kx-8k}{x^3(2k-x)^3} \end{eqnarray*}$

Und das unterscheidet sich zwar von deinem Resultat, hat aber nichtsdestoweniger ebenfalls ein kubisches Polynom im Zähler. Bei dessen Nullsetzen kommst deshalb mit einfachen Methoden auch nicht weiter.

Was du machen kannst, ist, für k verschiedene Werte einsetzen und von diesen Kurven jeweils den Wendepunkt bestimmen. Die zugehörige kubische Gleichung wird mittels eines Näherungsverfahrens gelöst.

k = +1: xw = 0,885
k = +2: xw = 1,299
k = - 2: xw = -1,476

mY+

Ja stimmt ich hab mich bei der ersten Ableitung in Nenner verschrieben es sollte $\begin{eqnarray*} (2kx-x^2)^2 \end{eqnarray*}$ heißen.
Dann werde ich für K werte einsetzen und somit die WP rauskriegen. Vielen Dank euch allen für die Hilfe!!

08.12.2009, 12:28

Dimedroll

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RE: Kurvendiskussion einer gebrochen rationale Funktion

Zitat:

Original von Eierkopf

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} f_k''(x)= 2 \cdot \frac{(2k+1)x^3-6x^2+12kx-8k}{x^3(2k-x)^3} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} f_k''(x)= 2 \cdot \frac{(2k+1)x^3-6x^2+12kx-8k^2}{x^3(2k-x)^3} \end{eqnarray*}$ ,
insofern stimme ich mit letztem Post überein.

Ja da muss ein $\begin{eqnarray*} 8k^2 \end{eqnarray*}$ hin.

08.12.2009, 20:03

mYthos

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... $\begin{eqnarray*} - 8k^2 \end{eqnarray*}$ !! Ist schon klar, das war eigentlich nur ein Abschreibfehler von meinem 2-Seiten Papier, allerdings ein ärgerlicher. Die Graphen bzw. die ausgerechneten Wendepunkte sind dennoch richtig, denn sie waren von dem Fehler unberührt.
Bitte um Verzeihung.

@Dimedroll & klarsoweit
Es ändert jedoch nichts daran, dass die 2.Ableitung anfangs auch in anderen Teilen nicht gestimmt hatte.

mY+

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