Wahrscheinlichkeit von zwei unabhängigen Zufallsvariablen

07.12.2009, 12:34	Rudy15	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit von zwei unabhängigen Zufallsvariablen Hallo, Ich brauche dringend eure Hilfe. Ich habe ein Übungsblatt mit drei Aufgaben und weiß einfach nicht wie ich bei der zweiten Aufgabe vorzugehen habe. Die Aufgabe: a) Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen. Bestimmen Sie P(X=Y), wenn $\begin{eqnarray} P^{X} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P^{Y} \end{eqnarray}$ beide - die Gleichverteilung auf {1,...,n} sind - durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion p: $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , p(n)= $\begin{eqnarray} 2^{-n} \end{eqnarray}$ gegeben sind b) Es seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen, die die Werte -1 und 1 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 annehmen. Sei Z=X*Y. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen X,Y,Z parweise unabhängig sind (d.h. jede Auswahl von zwei dieser Zufallsvariablen liefert unabhängige Zufallsvariablen), aber nicht unabhängig. Zu a) Ich vermute, dass man irgendwie eine Gleichung für P^X und P^Y aufstellen kann und darüber dann P(X=Y) ausrechen kann. Aber ich habe nicht den Ansatz einer Idee wie man das machen kann und Beispiele zu solchen Aufgaben, anhand derer man diese Aufgabhabe lösen könnte, habe ich leider keine. Zu b) Wie soll man sowas zeigen, wenn man die Frage noch nichteinmal versteht? Wie ihr seht, bin ich ein hoffnungloser Fall. Leider sind Beispiele in der Vorlesung absolute Mangelware und von daher fällt es mir sehr schwer von anderen Aufgaben ein Schema auf diese Abzuleiten. Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet. Grüße Tim
07.12.2009, 18:29	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Tim, zu b) Welche Werte kann denn Z annehmen? Schaue dir nochmals die Definitionen von paarweiser Unabhängigkeit und Unabhängigkeit an. zu a) Wenn X und Y gleichverteilt sind, was ist dann $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \in \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ ? Analoges gilt dann für k. Überlege dir dann wie oft X=Y sein kann. Gruß
07.12.2009, 21:10	Rudy15	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Fletcher, vielen dank erstmal für deine Antwort. Also diese Schreibweisen in der Stochastik sind schlimmer als jede Fremdsprache dieser Welt für mich. Zu a) habe ich mir mittlerweile auch was überlegt. Wie man das schreibt in der Stochastik weiß ich leider nicht aber vielleicht kannst du mir sagen ob meine Überlegung richtig ist? P(X=Y)=11/n Denn es gilt für P(X)=P(Y)=1/n oder nicht? Da es erstmal egal ist welchen Wert X annimmt ist die Wahrscheinlichkeit 1. Sprich X kann jeden Wert von 1,...,n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit das Y dann den gleichen Wert wie X annimmt ist 1/n. Zu b) Z kann -1 und 1 sein. P(X=1)=P(X=-1)=P(Y=-1)=P(Y=1)=1/2 P(Z=XY=-1)=P(Z=XY=1)=1/21/2+1/2*1/2)=1/2 Ist das der Richtige Weg? Wäre nett wenn du mir dazu nochmal ne Meinung abgeben könntest, bzw. mich korrigieren kannst wenn ich falsch da ran gehe. Danke nochmal! Grüße Tim
10.12.2009, 10:28	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Tag, das Ergebnis bei der a) ist korrekt, aber ich würde es vielleicht etwas anders formulieren. $\begin{eqnarray} P(X=k) = \frac{1}{n}, P(X=k) = \frac{1}{n}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^nP(X=Y=k)=\sum_{k=1}^nP(X=k) \cdot P(Y=k)=n \cdot \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ . Ich sehe noch nicht, dass du bei der b) die Unabhängigkeit wirklich ausgenutzt hast. Versuche es nochmals sauber hinzuschreiben. Gruß

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