Determinante eines Matrizenproduktes

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raphaelllo Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante eines Matrizenproduktes
Hallo zusammen..

gerade lässt mich mal wieder eine aufgabe zur verzweiflung bringen. sie lautet

Bestimmen Sie alle x element R³ mit und

die determinante einer transponierten und einer "normalen" matrix sind ja gleich. also suche ich ja theoretisch eine 3x3-matrix x, deren determinante null und die daher nicht invertierbar ist. für könnte ich ja theoretisch schreiben:



aber wie verallgemeinere ich diesen gedanken? und ist er überhaupt richtig?

ich freue mich auf eure antworten!

raphael
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante eines Matrizenproduktes
Wieso 3x3 Matrix. IR³ ist nur eine 3x1 Matrix, sagen wir Vektor. verwirrt
raphaelllo Auf diesen Beitrag antworten »

ohje .. dann hab ich die aufgabe missverstanden.
leider weiß ich jetzt gar nicht mehr, was ich machen muss.


ich gehe also von einem vektor aus.
x transponiert wäre dann:


x^t multipliziert mit x ergäbe ja dann eine zahl.. - es wäre eine normale skalarmultiplikation.

wäre die multiplikation von x mit x^t dann überhaupt möglich?

und wie würde ich jetzt verfahren, wenn ich alle x angeben möchte, um der aufgabenstellung gerecht zu werden?

danke schonmal smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Jede Zahl kannst Du als 1 x 1- Matrix interpretieren, und natürlich kannst Du dann die Determinante davon bestimmen (was trivial ist).

Zum anderen, Du weisst sicher das für



gilt :



Die Anzahl der Spalten von A muss mit der Anzahl der Zeilen von B übereinstimmen damit das Matrixprodukt definiert ist. Dieses gilt für



Den x hat 1 Spalte und hat 1 Zeile. Heraus kommt eine 3 x 3 - Matrix.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Spalte mit den Koordinaten und die daraus durch Transponieren entstehende Zeile ist, dann gilt für die 3×3-Matrix in Spaltendarstellung:



Und dies zeigt: Die Spalten von sind linear abhängig. Folgerung?
raphaelllo Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mal gelesen, dass dann die determinante = 0 ist .. da wäre ich aber selber leider nicht drauf gekommen. ich kann mir das auch nicht wirklich klar machen :/

komisch ist, dass ich mit rechnungen an sich kaum probleme habe - kommt es aber zu sachverhalten, die es zu erklären oder zu beweisen gilt, stehe ich meist auf dem schlauch.
 
 
raphaelllo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante eines Matrizenproduktes
für den fall habe ich jetzt berechnet, dass die determinante des produktes nur null wird, wenn x der nullvektor ist.

und für habe ich bislang nur vermerkt, dass die spaltenvektoren nach der multiplikation linear abhängig sind und die determinante daher null ist.

stimmt ihr mir da zu ? smile
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
komisch ist, dass ich mit rechnungen an sich kaum probleme habe


Ich sags Dir ja ungern, aber Hochschulmathematik ist weit mehr als Rechnen (auch wenn vieles daraus erwächst).

Zitat:
für den fall habe ich jetzt berechnet, dass die determinante des produktes nur null wird, wenn x der nullvektor ist.


Richtig!

Zitat:
und für habe ich bislang nur vermerkt, dass die spaltenvektoren nach der multiplikation linear abhängig sind und die determinante daher null ist.


Darauf hat Leopolds Tip ja auch abgezielt. Völlig richtig.
raphaelllo Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für eure antworten smile
ohne euch hätte ich das wohl verpatzt!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hättest nur die Matrix einmal vollständig hinschreiben und dann ihre Determinante nach der Sarrus-Regel berechnen müssen. Dann wärst du auch ans Ziel gekommen.
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