DGL der Newton-Gravitation

07.12.2009, 13:57	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL der Newton-Gravitation Hallo mir ist da eine eigentlich einfache Frage aufgekommen, von der ich eigentlich dachte, sie muesste eine einfache Loesung haben, aber irgendwie komm ich nicht drauf: Die Gravitationsbeschleunigung nach Newton ist $\begin{eqnarray} r''(t) = \frac{-GM}{r(t)^2} \end{eqnarray}$ Wie sieht die Lösung also für einen frei fallenden Körper aus - sprich: was ist die Lösung dieser DGL für eine rein radiale Bewegung? Und warum bekommt man für einen Körper mit Drehimpuls eine Ellipsenbahn, obwohl r'' immer negativ ist? Die Ellipsenbahn leitet sich glaube ich aus der Energieerhaltung her, aber es muss ja auch schon in der DGL stecken irgendwie? Ich stehe da im Moment auf dem Schlauch...
07.12.2009, 17:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL der Newton-Gravitation (1) Deine DGL ist nur bei rein radialer Bewegung korrekt. Bei zweidimensionaler Bewegung musst du sie als Vektorgleichung schreiben. In Polarkoordinaten ergibt das ein System gekoppelter DGL für den Radius r und die Winkelloordinate $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Eine der beiden DGl gleicht dann deiner DGl, enthält aber einen zusätzlichen Term für die Zentrifugalkraft. Details kannst du in Büchern über klassische Mechanik nachlesen. (2) Die DGL bei rein radialer Bewegung kann so angegangen werden: Nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray} \dot r \end{eqnarray}$ hat man $\begin{eqnarray} \dot r \ddot r =-GM\frac{\dot r}{r^2} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}\frac{\dot r^2}{2}=\frac{d}{dt}\frac{GM}{r} \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{\dot r^2}{2}-\frac{GM}{r}=c \end{eqnarray}$ Man erkennt den Energiesatz. Umgeformt hat man: $\begin{eqnarray} \dot r=\sqrt{2c-\frac{2GM}{r}} \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dr}=\frac{1}{\sqrt{2c-\frac{2GM}{r}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=\int_{r_0}^r~\frac{dr'}{\sqrt{2c-\frac{2GM}{r'}}} \end{eqnarray}$ Das Integral ist geschlossen lösbar. Ich habe aber Zweifel, ob man das Ergebnis formelmäßig nach r auflösen kann.
07.12.2009, 17:56	beuteltier	Auf diesen Beitrag antworten »
ah SUPER! (1) hab ich einfach nicht gesehen. (2) also das ist der trick! laut wolfram integrator hat t(r) eine analytische lösung, aber ich bezweifle ob man für die umkehrfunktion r(t) noch eine formel bekommt... Das ist cool. Kann mich nicht erinnern, die lösung dieses freien falls vorher schon gesehen zu haben. Entweder hab ich in der Physik-Vorlesung da geschlafen oder das wurde echt nicht behandelt

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