DFT/FFT Frequenzauflösung erhöhen

07.12.2009, 15:31

5iiiii

DFT/FFT Frequenzauflösung erhöhen

Hallo ich hätte ein paar grundlegende Verständnisfragen zur FFT die eher praktischer Natur sind.

Angenommen ich habe ein zeitdiskretes Signal mit 100 Punkten. Die FFT würde mir ja ein Frequenzspektrum von 0-50Hz als Ergebnis liefern.

1. Was passiert mit den Frequenzen die zwischen den "vollen" liegen, ich meine 1,1 1,2 1,3 usw. . Werden diese aufsummiert?

Wenn ich nun mein Frequenzspektrum höher auflösen möchten, sagen wir mal um das 10Fache höher. Da müsste ich im grunde mein Signal 10mal hintereinander anfügen und die FFT durchführen. Ich würde ein Spektrum von 0-500Hz bekommen.

2. Entsprechen nun alle nicht vielfachen von 10 meinen gesuchten "zwischenfrequenzen" sprich 11Hz -> 1,1Hz usw. ?

Irgendwie bin ich mir nich ganz sicher ob diese überlegung korrekt ist. Könnt ihr mir da weiterhelfen?

18.12.2009, 14:44

z_alex

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Zitat:

Angenommen ich habe ein zeitdiskretes Signal mit 100 Punkten. Die FFT würde mir ja ein Frequenzspektrum von 0-50Hz als Ergebnis liefern.

Deine Ausgangsüberlegung ist schon mal falsch. Wenn du ein zeitdiskretes Signal mit 100 Punkten hast, musst du unbedingt die Abtastfrequenz (nennen wir die mal $\begin{eqnarray*} f_s \end{eqnarray*}$ ) wissen, um weitere Aussagen zu kriegen. Abtastfrequenz gibt an wie oft du dein analoges Signal abgetastet hast um diese 100 Punkte zu kriegen. Mit anderen Worten sagst du damit wie viel Zeit zwischen den einzelnen Werten liegt ( $\begin{eqnarray*} T = \frac{1}{f_s} \end{eqnarray*}$ ).

Erst wenn du das weißt kannst du sagen welchen Frequenzbereich das Ergebnis der FFT haben wird. Fourier Transformation (egal ob FFT oder DFT) liefert immer ein Spektrum im Bereich $\begin{eqnarray*} f = [-\frac{f_s}{2}, +\frac{f_s}{2}] \end{eqnarray*}$ . Wenn dein Zeitsignal höhere Frequenzen hatte, dann hast du es nicht oft genug abgetastet (Unterabtastung).

Das war zum Frequenzbereich der FFT-Rechnung. Nun zur Frequenzauflösung, die sich dadurch ergibt. Hierzu ist eine weitere Information wichtig: FFT liefert genau so viele Werte, wie viele sie am Eingang bekommen hat.

$\begin{eqnarray*} \text{N}_\text{Zeitsignal} = \text{N}_\text{Spektrum} \end{eqnarray*}$

Nun kann man die Frequenzauflösung ganz einfach berechnen. Die Anzahl der Einträge, die die FFT liefert, verteilen sich gleichmäßig über den gesamten Frequenzbereich $\begin{eqnarray*} f = [-\frac{f_s}{2}, +\frac{f_s}{2}] \end{eqnarray*}$ . Somit berechnet sich die Frequenzauflösung folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \Delta f = \frac{f_s}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es also 2 Schrauben, an denen man drehen kann:
1) das analoge Zeitsignal öfter abtsaten
2) mehr Abtsastwerte von dem diskreten Zeitsignal in die FFT aufnehmen

Erstes erhöht den spektralen Frequenzbereich um den gleichen Faktor. Zweites erhöht die Frequenzauflösung um den gleichen Faktor.

z.B.:

Zitat:

Angenommen ich habe ein zeitdiskretes Signal mit 100 Punkten.

und angenommen Abtastfrequenz beträgt 100Hz. Das heißt das gesamte Signal dauert 1s. Dann liefert die FFT ein Spektrum mit Frequenzen von -50Hz bis 50Hz und die einzelnen Spektallinien liegen 1Hz auseinander

$\begin{eqnarray*} \Delta f = \frac{100Hz}{100 Abtastwerte}=1Hz \end{eqnarray*}$

Willst du nun eine Frequenz von 0,1Hz haben, musst du 10mal so viele zeitdiskrete Punkte in die FFT reingeben. Also, statt 100 Werten (1 Sekunde) 1000 Werte (10s).

Zu beachten: FFT braucht immer zweier Potenz Abtastwerte: 2,4,8,16,32,64,128,256,512,.... Das heißt das Beispiel oben müsste eigentlich so heißen: zuerst 128 zeitdiskrete Punkte, dann das 8- oder das 16-fache davon: 1024 oder 2048 Werte.

30.11.2016, 21:45

egdat

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Dft
Es hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Die Frequenzauflösung ist

$\begin{eqnarray*} \Delta f=\frac{f_{s}}{N} \end{eqnarray*}$

Die angegebene Formel erinnert an das Nyquist Theorem für die höchste detektierbare Frequenz

$\begin{eqnarray*} f_{max} =\frac{f_{s}}{2} \end{eqnarray*}$

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