diskutiere fa(x)=x*e^ax²

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=x \cdot e^{ax²} \end{eqnarray*}$

Zunächst mal die Nullstellen. Wann wird $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ null? Ideen, wie man da rangehen könnte?

08.12.2009, 16:10

Dschorsch

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x=0 denn e^ax² ist immer positiv , deswegen ist das Produkt x=o ? =)

08.12.2009, 16:14

Dschorsch

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Meine Ableitungen sind :
fa'(x) = e^ax² + 2ax²e^ax²
fa''(x) = 2axe^ax² + 4a²x³e^ax²
right ? =)

08.12.2009, 16:44

Mulder

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Nullstelle bei x=0 ist schon mal in Ordung, ja.

Zitat:

Original von Dschorsch
fa'(x) = e^ax² + 2ax²e^ax²

Da hat sich ein Fehler eingeschlichen. Schau dir nochmal die innere Ableitung der e-Funktion genau an.

08.12.2009, 16:47

Dschorsch

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fa'(x) = (1*e^ax²)+(x*e^ax²)*2ax ...

08.12.2009, 16:51

Mulder

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Muss mich entschuldigen, habe falsch hingesehen. Deine Ableitung ist doch korrekt.

Die zweite damit auch. smile

So, dann mal ran an die Extrema. Was ist dafür zu tun?

08.12.2009, 16:59

Dschorsch

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extrema :

x1= Wurzel aus e/-2a

muss ich hier ne fallunterscheidung betrachten ?

08.12.2009, 17:05

Mulder

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Zitat:

Original von Dschorsch

x1= Wurzel aus e/-2a

muss ich hier ne fallunterscheidung betrachten ?

Du meinst $\begin{eqnarray*} x_1 = \sqrt{-\frac{1}{2a}} \end{eqnarray*}$ .

Fallunterscheidung bietet sich an, ja. smile

Für welche a hat unser $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ Extrema?

Beachte aber, dass es auch noch ein zweites Extremum gibt.

08.12.2009, 17:14

Dschorsch

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Genau.

fa(x) besitz ein Extrema bei a<0.5 ??=)

08.12.2009, 17:18

Dschorsch

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x1 = +Wurzel aus 1/-2a
x2= - Wurzel aus 1/-2a

08.12.2009, 17:23

Mulder

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Zitat:

Original von Dschorsch
fa(x) besitz ein Extrema bei a<0.5 ??=)

Der Satz sagt mir jetzt nicht viel. Unterscheide drei Fälle:

$\begin{eqnarray*} 1) \quad a = 0 \end{eqnarray*}$ (wobei das ja recht simpel ist, dann ist einfach $\begin{eqnarray*} f_a(x) =x \end{eqnarray*}$ und die Frage nach Extremas erübrigt sich.

$\begin{eqnarray*} 2) \quad a > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3) \quad a < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{-1}{2a}} \end{eqnarray*}$

08.12.2009, 17:25

Dschorsch

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Achso genau so war das mit der Fallunterscheidung danke Augenzwinkern

Dann besitzt halt fa(x) bei a<0 Extrema. =)

08.12.2009, 17:30

Dschorsch

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Nun komme ich etwas durch einander und weiß net weiter!

fa''(Wurzel aus 1/-2a) = [ 2a*(Wurzel aus1/-2a) ] +[( e^a*e/-2a) + (4a²*1/-2a*e^a*2/-2a)]

kann ich das irgendwie vereinfachen ?!

Tut mir Leid wegen meiner mathematischer Schrift smile

...weiß nicht wie ich eine Wurzel setzen kann ...^_^

08.12.2009, 17:31

Mulder

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Zitat:

Original von Dschorsch
Dann besitzt halt fa(x) bei a<0 Extrema.

Einverstanden smile

Nun wäre noch die Art der Extrema zu klären.

Und dann auf analoge Art und Weise noch die Wendepunkte.

08.12.2009, 17:50

Dschorsch

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Also a<o = fa''(x) >0 => Tiefpunkt (+ Wurzel aus 1/-2a /...)
Right oder ? smile

08.12.2009, 17:51

Mulder

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Zitat:

Original von Dschorsch
fa''(Wurzel aus 1/-2a) = [ 2a*(Wurzel aus1/-2a) ] +[( e^a*e/-2a) + (4a²*1/-2a*e^a*2/-2a)]

Du willst hier ja nur klären, ob das ganze positiv oder negativ ist (um die Art der Extrema zu bestimmen). Da du weißt, dass a<0 ist, ist das eigentlich nicht schwer.

$\begin{eqnarray*} f''_a(x) = (2ax^2+3) \cdot 2axe^{ax^2} \end{eqnarray*}$

Einsetzen liefert:

$\begin{eqnarray*} f''_a\left (\sqrt{ \left ( \frac{-1}{2a} \right )}\right ) = \left (2a \left ( \frac{-1}{2a} \right ) +3 \right ) \cdot 2a\sqrt{ \left ( \frac{-1}{2a} \right )} e^{a \frac{-1}{2a}} \end{eqnarray*}$

Da kannst du noch das ein oder andere vereinfachen und dann wird leicht ersichtlich, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Schauen, was positiv und was negativ ist. Ich würde dir auch empfehlen, mal exemplarisch einen Graphen zu zeichnen (Taschenrechner), such dir irgendein a<0 aus (meinetwegen a=-2 oder sowas) und schau einfach mal. Dann siehst du, ob du richtig gerechnet hast. Und dann untersuchst du auch noch das andere Extremum (also das mit Minus vor der Wurzel).

Jetzt muss ich mich erstmal ausklinken. smile

08.12.2009, 17:57

Dschorsch

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Wie lautet deine 2 Ableitung der Funktion fa(x) = x*e^ax² ?!
Meine fa''(x) = 2axe^ax² + 4a²x³e^ax² !

08.12.2009, 18:09

Mulder

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$\begin{eqnarray*} f_a(x) = x \cdot e^{ax^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'_a(x) = (2ax^2+1) \cdot e^{ax^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''_a(x) = 4axe^{ax^2} + (2ax^2+1)e^{ax^2} \cdot 2ax = (2ax^2+3) \cdot 2axe^{ax^2} \end{eqnarray*}$

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