Trigonometrische Funktionen: Flächeninhalt von Viereck berechnen

07.12.2009, 16:35	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Funktionen: Flächeninhalt von Viereck berechnen Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter... [attach]12421[/attach] Ich soll den Flächeninhalt eines Vierecks berechnen. Nun sind wir gerade beim Thema Trigonometrische Funktionen. Also habe ich versucht, die Aufgabe mit sinus, cosinus und tangens zu lösen. Da man diese Winkelfunktionen ja nur im rechtwinkligen Dreieck anwenden darf, habe ich versucht alle möglichen rechtwinklingen Dreiecke zu konstruieren, um den Flächeninhalt zu berechnen. Ich habe ja nur einen rechten Winkel links oben, da aber kein komplettes Dreieck. Höhen sind ja auch oft geschickt. Aber egal wie ich die Fläche zerlege, ich komme einfach nicht zum Ziel, weil ich um diese rechtwinklingen Dreiecke zu erhalten immer Winkel "teilen" muss oder Strecken teilen muss, sodass ich nachher keine Angaben mehr habe, um die Fläche zu berechnen.... Ich würde mich riesig freuen, wenn mir jemand einen Tipp hat. Gruß, Duude
07.12.2009, 17:57	Böördi Vogts	Auf diesen Beitrag antworten »
Weißt du schon wie man allgemein den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks berechnet ( $\begin{eqnarray} A = \frac{1}{2}bc\sin(\alpha ) \end{eqnarray}$ )?
07.12.2009, 18:33	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich kenne die Formel $\begin{eqnarray} A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \end{eqnarray}$ dabei ist g die Grundfläche und h die Höhe, die aber wieder senkrecht auf der Grundseite steht, wozu ich ja versucht habe rechte Winkel zu finden... Und die Formel die du hingeschrieben hast gilt für jedes Dreieck? Dann ist ja immer $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ der eingeschlossene Winkel zwischen den Strecken b und c. Dann könnte ich ja einfach eine Diagonale durch die Zeichung ziehen, die D mit B verbindet. Dann habe ich zwei Dreiecke von denen ich mit deiner Formel den Flächeninhalt berechnen kann. Für Dreieck ABD gilt dann $\begin{eqnarray} A_1=0,5 168,1m(60,6+182,5)msin(116,5)=18285,8m² \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Auf die gleiche Weise würde dann für Dreieck DBC folgen $\begin{eqnarray} A=72290,9m^2 \end{eqnarray}$ Und somit für den gesamten Flächeninhalt $\begin{eqnarray} A_{ges}=90576,69m^2 \end{eqnarray*}$ Was meinst du dazu? Bei Aufgabe b weiß ich aber immer noch nicht weiter. Ich habe überlegt, sie über den Pythagoras zu berechnen. Aber dafür brauche ich wieder rechte Winkel, die ich nicht habe. Hast du mir da vielleicht auch einen Tipp? Gruß, Duude
07.12.2009, 19:11	Böördi Vogts	Auf diesen Beitrag antworten »
Gefällt mir sehr gut, wie du es umgesetzt hast. Schade nur, wenn ihr scheinbar diese Formel noch gar nicht behandelt habt. Was genau kannst du schon mit Sinus, Cosinus und Tangens berechnen? Kannst du da mal einen kleinen Überblick verschaffen?
07.12.2009, 23:10	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, genau das ist mein Problem.. ich kann die trigonometrischen Funktionen ja nur in rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Und ich habe genau einen rechten Winkel in der Zeichnung. Jetzt brauche ich ja stets zwei Angaben, um etwas berechnen zu können, also einen Winkel und eine Seite oder zwei Seiten eines Dreiecks in dem der rechte Winkel ist. Also könnte ich z.B. die Strecke AP berechnen, da ich ja die zwei anderen Strecken schon gegeben habe. ah jetzt... ich glaub ich habs... Ich habs mal so angehängt, weil die Lösung ziemlich lang geworden ist.. [attach]12431[/attach] Ich hoffe man kanns lesen... Jetzt bin ich nämlch gerade auf den Trick mit dem Winkel gekommen und dann hats geklappt. Also mein Ergebnis ist Strecke PG hat die Länge 241,02m. Bist du da einverstanden?
08.12.2009, 23:11	Böördi Vogts	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin sehr mit einverstanden. Eine sehr gute Lösung hast du da Meinst du nicht auch, dass du nun Teil 1 der Aufgabe ohne die allgemeine Gleichung über den Flächeninhalt in Dreiecken lösen kannst?
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09.12.2009, 00:27	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, das freut mich. Also ich habe das jetzt auch nochmals mal ohne deine Formel versucht und habs im linken Viereck auch geschafft. Da hab ich ja jetzt endlich überall rechte Winkel gefunden und dann kann ich ja von jedem der drei Teildreiecke also APD, AGH und GPH ganz leicht den Flächeninhalt berechnen. Der Flächenihnalt im Viereck ABPD ist 23652,6765m² Allerdings habe ich noch Probleme beim rechten Viereck GBCP. Da komme ich immer noch nicht auf meine rechten Winkel. Es is ja dort gar keiner gegeben. Ich habe schon überlegt die Höhe von B auf die STrecke GP zu ziehen, (sei der Schnittpunkt von der Höhe mit der Strecke GP = K) um in diesem Dreieck GBK etwas zu berechnen, müsste ich aber den Winkel bei G im rechten Dreieck kennen..., da ich den bei B ja teile. Den Winkel bei G könnte ich über 180° - den Winkel bei G im Dreieck AGH - den Winkel bei G im Dreieck HBP bekommen. Den Winkel bei AGH kann ich berechnen mit der Winkelsumme im Dreieck AGH 180°- alpha2 =103,84°. Aber den Winkel bei G im Dreieck HBP bekomme ich irgenwie nicht hin. In dem Dreieck habe ich ja nur alle Strecken gegeben und keinen einzigen Winkel... Wie kann ich denn auf diesen Winkel kommen, oder gibt es eine andere Möglichkeit den Flächenihnhalt im rechten Viereck GBCP nur mit rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen?

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