stochastische Konvergenz und Konvergenz im quadr. Mittel

07.12.2009, 18:47	manito	Auf diesen Beitrag antworten »
stochastische Konvergenz und Konvergenz im quadr. Mittel Hallo zusammen, ich hänge bei folgender Fragestellung: Seien $\begin{eqnarray} A_1,A_2,... \end{eqnarray}$ Ereignisse in Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega, F, P) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (i) $\begin{eqnarray} 1_{A_n} \to 0 (n \to \infty) \end{eqnarray}$ stochastisch (ii) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } P(A_n)=0 \end{eqnarray}$ (iii) $\begin{eqnarray} 1_{A_n} \to 0 (n \to \infty) \end{eqnarray}$ im Quadratischen Mittel $\begin{eqnarray} 1_{A_n} \end{eqnarray}$ ist die Indikatorfunktion, die nur die Werte 0 und 1 annimmt. Also das macht man wohl mit nem Ringschluss iii -> i ist klar Bei den anderen weiß ich nicht so wirklich, wie ich da ansetzen soll Bei i -> ii hab ich mir überlegt: Wenn das Ding stochastisch konvergiert gilt ja: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 : \lim_{n \to \infty } P(\|1_{A_n}\|\geq\epsilon)=0 \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt Epsilon z.b. 1/2 setze dann gilt das auch noch und dann folgt ja, dass ein N existiert, sodass für k>N, wenn N nur groß genug die Indikatorfunktion identisch 0 ist. D.h. für k>N tritt das ereignis nicht mehr ein und $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 ,k>N : \|P(A_n)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ , was ja dem normalen konvergenz begriff entspricht, also folgt ii bei ii->iii fehlt mir dann jeglicher ansatz, auch, wie ich den erwartungswert da jetzt verbraten soll. Danke für Tipps.

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