Surjektivität

07.12.2009, 21:45	kh	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität Sei f:[a,b]-->[c,d] eine stetige injektive Funktion mit f(a)=c und f(b)=d. Zeigen sie: 1. f ist surjektiv 2. f ist streng monoton wachsend, d.h., aus x<y folgt stets f(x)<f(y) (für x,y element [a,b]) ich hoffe mir kann jemand helfen, denn ich weiß wirklich nicht weiter bei der aufgabe!!!
07.12.2009, 21:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
1. folgt direkt aus dem Zwischenwertsatz. 2. eine injektive stetige funktion ist stets streng monoton (und hier kann es nur wachsend sein). Das ist anschaulich eigentlich sehr leicht einzusehen. Wenn die 1. gelöst ist, kann ich dir gerne einen Beweisansatz liefern.
07.12.2009, 22:02	k.h	Auf diesen Beitrag antworten »
so, also 1. hab ich soweit ja verstanden, kurz bevor du das geschrieben hast bin ich da auch selbst drauf gekommen. jetzt ist halt nur noch zweitens mein problem...
07.12.2009, 22:05	k.h	Auf diesen Beitrag antworten »
also das hab ich zu 1. da f stetig und c<=d, so gibt es nach dem zwischenwertsatz zu jedem y element von [c,d] mit c<=y<=d ein x element von [a,b] mit f( x)=y. daraus folgt f ist surjektiv kann ich das soweit lassen?
07.12.2009, 22:15	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das kann man so lassen. Mal zur 2: Nehme an f sei nicht monoton wachsend. Dann gibt es $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a<u<v<b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(u) \geq f(v) \end{eqnarray}$ . Gleichheit schließen wir wegen der Injektivität direkt aus, also gilt $\begin{eqnarray} f(u) > f(v) \end{eqnarray}$ . Nun betrachte mal die Menge $\begin{eqnarray} M := \{ x \in (a,u) \| f(x) > f(v)\} \end{eqnarray}$ Diese Menge kann nicht leer sein. Warum? Nun kann man aber zeigen: $\begin{eqnarray} f(\inf M) = f(v) \end{eqnarray}$ . Klarer Widerspruch! Zeichne dir das auch mal auf. Dann wird es klarer

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