wurzel komplexer zahlen |
| 07.12.2009, 22:04 | gruenerblob | Auf diesen Beitrag antworten » |
| wurzel komplexer zahlen a) Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung w^4 = −16 (i) Unter Verwendung von Polarkoordinaten (ii) Unter Verwendung des Ansatzes w=a+bi. bei i hier mal meine lösung bzw der versuch: |-16| = 16 ; arg(-16) = pi => |w| = 4.wurzel 16 arg(w) = pi/4 bzw dann 3pi/4 5pi/4 und 7pi/4. und jetzt schreib ich dass in diese cos sin form. w0 = cos*(pi/4) + i*sin*(pi/4) w1 = cos*(3pi/4) + i*sin*(3pi/4) . . . jetzt bin ich mir nur nicht sicher ob ich die lösungen w0 w1 w2 etc auch noch mit etwas multiplizieren muss. haben es jedenfalls in einer übung gemacht. hab aber nicht kapiert mit was und warum. wär super wenn mir da jemand helfen könnte. werd mich derweil über ii machen 
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| 07.12.2009, 22:48 | gruenerblob | Auf diesen Beitrag antworten » |
so mittlerweile bin ich au bei ii etwas weiter gekommen. also w= a+bi (a+bi)^4 = -16 -16 = a^4 + (4a^3)*bi - (6a^2)(b^2) - 4a(b^3)*i + b^4 realteil : -16 = a^4 -6(a^2)(b^2)+b^4 I. immaginär. 0 = 4(a^3)b - 4a(b^3) II. II = 0 wenn a = 0 einsetzten in I. 16 = -b^4 ----> b = +2 ; -2 also z1= 2i z2 = -2i dann II umformen 4(a^3)b = 4a(b^3) => a^2 = b^2 einsetzten in I -16 = b^4 - 6(b^4) + b^4 16 = 4(b^4) 4 = b^4 b^2 = 2 also z3 = wurzel 2 *i und z4 = -wurzel2 *i könnte das jemand bitte bestätigen? oder mit sagen was daran falsch ist? wäre super danke euch. bzw diie erste teilaufgabe nachgucken wär au klasse
gruß Heiko |
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| 07.12.2009, 23:45 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » |
"w^4 = −16" kann ich beim besten willen nicht verstehen. |
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| 07.12.2009, 23:46 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » |
^ oder mit sagen was daran falsch ist? 
also: wenn w^4 = -16 dann ist |w| = 2 und für w gilt also: w= 2 * [ cos( 45° + k*90°) + i* sin( 45° + k*90°) ] .... für k = 0, 1, 2, 3 usw |
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| 08.12.2009, 00:19 | gruenerblob | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja genau w^4= -16 entschuldige beim kopieren hat wohl was nicht so richtig funktioniert. |w| = 2 hab ich etz auch scho raus. (hatte da i wie nen hänger)
also wär meine lösung oben schon richtig oder nicht? @corvus? bis auf die 2* am anfang. woher kommen die eigentlich? wär super wenn du mir das noch beantworten könntest. gruß p.s. ach ja....beim tippen oben wohl bisschen verhaspelt...des r liegt ja au so schön neben dem t
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| 08.12.2009, 00:32 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » |
^ bis auf die 2* am anfang. woher kommen die eigentlich? 
du willst w^4=-16 lösen ? und dazu machst du den Ansatz w= |w|*e^(i*phi) also: w^4= |w|^4 * e^(i*4*phi) = 16* e^(i* (pi +2k*pi)) nun müssen Betrag und Argument übereinstimmen, dh 1) |w|^4 = 16 ...->.. |w| = 2 2) 4*phi = (pi +2k*pi) ..->.. phi = (pi +2k*pi)/4 und damit : w= |w|*e^(i*phi) = 2* e^(i* (pi +2k*pi)/4 ) alles klar? |
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| 08.12.2009, 12:20 | gruenerblob | Auf diesen Beitrag antworten » |
ah wunderbar w= |w|*e^(i*phi) = 2* e^(i* (pi +2k*pi)/4 ) die formel hab ich gemeint hab die nicht gekannt. dann is ja klar woher die 2 kommt. danke dir! kann ich die lösung mit dem ansatz w = a+bi auch so stehen lassen? |
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| 08.12.2009, 13:05 | corvus | Auf diesen Beitrag antworten » |
> kann ich die lösung mit dem ansatz w = a+bi auch so stehen lassen? ob du kannst, musst du selbst entscheiden
aber du könntest es auch lassen .. denn wenn du beginnst zu überlegen, dann kannst du sicher herausfinden, wie es denn richtig aussehen wird..? < |
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| 08.12.2009, 14:08 | gruenerblob | Auf diesen Beitrag antworten » |
hmmm hab grad etwas überlegt. also wenn man sich das auf dem einheitskreis da vorstellt, dann sind die lösungen ja jeweils auf der winkelhalbierenden jedes quadranten. richtig? dann müsste ich mit dem ansatz w= a+bi auf lösungen der art wurzel 1/2+ wurzel2*i etc kommen. richtig? die restlichen lösungen wären ja dann sämtliche vertauschungen der vorzeichen damit ich jeden quadranten abdecke. nur leider komm ich mit dem ansatz da auf keinen grünen zweig. könntest du mir da ne kleine einführung geben wie ich dass dann machen muss? die gleichungen für realteil und immaginärteil sollten so eigentlich stimmen. nur ist mir leider nicht klar wie ich dann mit a und b rechnen muss dass was sinnvolles rauskommt. |
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| 08.12.2009, 16:54 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den ersten Schritt würde ich durch Nachdenken erledigen Jetzt sind also noch zwei Gleichungen zu lösen. Nehmen wir einmal . Sind Real- bzw. Imaginärteil von , bekommt man durch Vergleichen Die zweite Gleichung zeigt, daß die reellen Zahlen gleiches Vorzeichen haben müssen, die erste, daß sie im Betrag übereinstimmen. Folgerung: . Und wie es jetzt weitergeht, solltest du alleine hinbekommen ... |
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| 08.12.2009, 16:58 | gruenerblob | Auf diesen Beitrag antworten » |
habe mir gerade auch was überlegt. vielleicht kannst du mal gucken ob dass so stimmt. hier meine beiden teile nochmal realteil : -16 = a^4 -6(a^2)(b^2)+b^4 I. immaginär. 0 = 4(a^3)b - 4a(b^3) II. immaginar kann man ja umformen dass da steht a^2 = b^2 das setze ich nun in real ein. dann komme ich auf b^2= 2 >>> b = +- wurzel2 das wiederum setzte ich in immaginär ein und komme natürlich auch auf a = +- wurzel2 d.h. z0 = wurzel2 +wurzel2*i z1 = wurzel2 -wurzel2*i z2 = -wurzel2 +wurzel2*i z3 = -wurzel2 -wurzel2*i wäre des so vertretbar? |
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