Gewichtung wählen für Minimum

10.10.2006, 22:53

Sephiroth

Gewichtung wählen für Minimum

Seien $\begin{eqnarray*} X_1, ....., X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig Normalverteilte Zufallsvariable
mit gleichen Erwatrungswert aber unterschiedlicher Varianz.

ferner wird die folgende Zufallsvariable betrachtet

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{i=k}^n~w_iX_i \end{eqnarray*}$

es gilt $\begin{eqnarray*} 0<=w_i<=1 , \sum_{i=1}^n~w_i = 1 \end{eqnarray*}$

Frage: für welche w_i ist die Varianz von S minimal...

es genügt ja sich folgendes anzuschauen und zu fragen wann die folgende Summe minimal ist.

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~w_i^2E(x_i^2) \end{eqnarray*}$

ich vermute ja wenn gilt $\begin{eqnarray*} w_i = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

aber zeigen kann ich das nicht...

habt ihr vielleicht ne Idee?

danke gruß Stefan

10.10.2006, 23:09

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Zitat:

Original von Sephiroth
ich vermute ja wenn gilt $\begin{eqnarray*} w_i = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nur bei gleichen Varianzen, sonst nicht.

Für den allgemeinen Fall denke mal an die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (CSU).

EDIT: Ok, war vielleicht etwas knapp. Du hast also Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_i \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma_i^2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ und willst die Varianz von

$\begin{eqnarray*} S = \sum_{i=1}^n ~ w_iX_i \end{eqnarray*}$

minimieren, wobei für die Gewichte $\begin{eqnarray*} w_i\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n ~ w_i = 1 \end{eqnarray*}$ gelten soll. Dann gilt zunächst

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(S) = \sum_{i=1}^n ~ w_i^2\operatorname{var}(X_i) = \sum_{i=1}^n ~ w_i^2\sigma_i^2 \end{eqnarray*}$ .

Und nun wende darauf die CSU

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{i=1}^n ~ a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^n ~ b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n ~ a_ib_i \right)^2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_i=w_i\sigma_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_i=\frac{1}{\sigma_i} \end{eqnarray*}$ an, dann findest du das Minimum. Die Gleichheit in der CSU wird genau dann angenommen, falls die beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} (a_1,\ldots,a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_1,\ldots,b_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind, so findest du auch die zugehörigen optimalen Gewichte $\begin{eqnarray*} w_i \end{eqnarray*}$ .

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