LGS mit 2 Parametern

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07.12.2009, 22:19	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit 2 Parametern Also, mal wieder eine Aufgabe bei der ich hängen bleibe... Ich habe ein lineares Gleichungssystem mit den Parametern $\begin{eqnarray} p,q \in \mathbb R <br /> \begin{pmatrix} 2 & 3 & -9 \\ 2 & -2 & p \\ 4 & 2p & 2p \end{pmatrix} x= \begin{pmatrix} 0 \\ q \\ 2q \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und ich soll die Parameter so bestimmen, dass es a) eindeutig lösbar ist b) keine Lösungen gibt c) unendlich viele Lösungen. So, ich hab dann mal die Determinante bestimmt, die ist $\begin{eqnarray} p^{2} + 11p +18 \end{eqnarray}$ jetzt muss ich einfach p1 und p2 bestimmen, die sind -2 bzw. -9 dann wäre das LGS lösbar, wenn denn der $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ q \\ 2q \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hier nicht wäre... irgendwie muss der doch noch einfluss haben, oder ist es doch einfach so simpel? mach ich jetzt mit der Inversen Matrix weiter um A*X=B auszurechnen? unendlichviele indem ich p1=-2 einsetze und damit nachweiße, dass die Koeffizientenmatrix und die erweiterte den gleichen Rang haben? hoffe ihr könnt mir helfen und mich von dem Schlauch auf dem ich gerade stehe herunter zuholen!
07.12.2009, 22:44	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS mit 2 Parametern LGS ist für alle Werte bisauf -2 und -9 eindeutig lösbar. Für -2 und -9 kann es entweder keine oder unendlich viele Lösungen haben. Das zu prüfen ist ein bisschen aufwändiger, du muss jede Spalte in der Matrix durch die Spalte auf der rechten Seite ersetzen und Determenanten ausrechnen(für jede der drei Spalte). Wenn für alle 3 Spalten 0 rauskommt, dann gibts unendlich viele Lösungen, sonst keine.
07.12.2009, 22:50	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
schlimm, wenn ich das jetzt nicht verstehe...? also das mit den rechte Spalte in andere einsetzen äh? für welche Werte?
07.12.2009, 23:39	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir Cramersche Regel an, dann wirst du das verstehen.
07.12.2009, 23:57	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das habe ich gemacht. allerdings bekomme ich dann für D1=0, D2= -16q und D3=0 daraus folgt dann, dass x2= -0,5q ist? also eine Lösung für p=-2 und wenn ich für p=-9 einsetze dann ist D = 0 also keine Lösung! bitte, sagt, dass es Stimmt, dann springe ich nämlich im Kreis vor Freude! und Danke, Danke, Danke!
08.12.2009, 00:13	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
so, und weils so viel Spaß macht noch eine Aufgabe... $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 12 & p \\ 8 & 7 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 15 \\ q \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt die D in Abhängigkeit von p ausrechne bekomme ich 84-8p => p=10,5 also ist das LGS lösbar für den Fall, dass $\begin{eqnarray} p \neq 10,5 \end{eqnarray}$ ist. Gut, wie komm ich aber jetzt auf q. Weiterrechnen mit p=10,5 wie im ersten Beispiel kann ich ja jetzt nicht mehr. setze ich jetzt einfach andere Werte ein?
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08.12.2009, 00:17	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls ich mich nicht verrechnet habe bekomme ich bie der ersten Aufgabe folgendes: $\begin{eqnarray} <br /> x_1=\frac{9q}{2(p+9)}, x_2=0, x_3=\frac{q}{(p+9)}<br /> \end{eqnarray}$ Daraus sieht man, dass es für p = -9 keine lösungen gibt, bis auf den fall, wo p = -9 und q = 0 ist, denn dann kommt sowas, wie 0/0, dann gibts unendlich viele Lösungen.
08.12.2009, 00:23	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie bist du da drauf gekommen? weil ich hab ja was anderes?
08.12.2009, 00:37	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 12 & p \\ 8 & 7 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 15 \\ q \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D = det\begin{pmatrix} 12 & p \\ 8 & 7 \end{pmatrix}=127-8p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_1 = det\begin{pmatrix} 15 & p \\ q & 7 \end{pmatrix}=157-qp \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D_2 = det\begin{pmatrix} 12 & 15 \\ 8 & q \end{pmatrix}=12q-158 \end{eqnarray}$ Nun $\begin{eqnarray} x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{157-qp}{127-8p} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{12q - 158}{127-8p} \end{eqnarray*}$ Jetzt muss du schauen: a) Für alle p, q, wo im Nenner 0 rauskommt, aber im Zähler nicht, gibts keine Lösungen. b) Falls für irgendwelche p, q im Zähler und im Nenner gleichzeitig 0 rauskommt und dass auch gleichzeitig für beide x, dann gibts unednlich viele Lösungen. a)Im Nenner kommt nur bei p=10,5 eine Null raus, also für p=10,5 gibts keine oder unendlich viele Lösungen. b)Setzt man nun in Zähler P = 10,5, dann wird der Zähler bei q = 10 auch zu 0, dh es gibt unednlich viele Lösungen. p=10.5, q=10: unendlich viele Lösungen, weil Zähler und Nennen bei x1 und x2 Null sind p=10,5 q=(beliebig außer 10): keine Lösungen, weil Nenner 0 ist, Zähler aber nicht.
08.12.2009, 07:47	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, jetzt ist Licht in den Djungel eingeekehrt! Dankeschön! muss jetzt erst mal in die Uni, gestern bin ich dann eingeschlafen, und dann werd ich noch mal die erste Aufgabe mit der Cramerschen Regel bearbeiten...
08.12.2009, 21:28	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
noch mal zur ersten Aufgabe. eine eindeutige Lösung gibt es nicht, oder?
08.12.2009, 21:53	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht, für p ungleich -9 ist alles andere eindeutig.
08.12.2009, 22:07	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
und q? ungleich ?
08.12.2009, 23:04	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
q ist egal, soweit p nicht -9 ist. Es ist so, dass mit p=-9 Nenner zu 0 wird, das ist ein Spezialfall. Nur für P=-9 kann es keine oder unedlich viele Lösungen geben und erst hier kommt q ins Spiel. Wird noch der Zähler für alle x, dank q zu 0, dann gibts unendlich viele Lösungen, sonst keine für diesen Spezialfall.
09.12.2009, 00:15	Pfannkuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ah!

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