Umformung im Komplexen

10.10.2006, 23:26

think

Umformung im Komplexen

moin mal wieder, ich hake mal wieder an einer Umformung:

also der Rand eines Kreises wird beschrieben durch:
$\begin{eqnarray*} \partial C = \{ z \mid \operatorname{Re}(z) =1 \land \operatorname(Im) (z) \in [1-\sqrt(3), 1+\sqrt(3)] \} \end{eqnarray*}$

dann folgt ohne Zwischenschritte die Umformung zu:

$\begin{eqnarray*} \partial C = \{ z \mid z = 2+i+2*e^ {\left( i \varphi \right)}, \varphi \in [-(\pi-\arctan(\sqrt{3}) ,(\pi-\arctan(\sqrt{3})] \} \end{eqnarray*}$

die verstehe ich auch, bis auf das Argument für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Wenn das vielleicht mal einer erläutern könnte.

11.10.2006, 10:09

klarsoweit

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RE: Umformung im Komplexen

Zitat:

Original von think
also der Rand eines Kreises wird beschrieben durch:
$\begin{eqnarray*} \partial C = \{ z \mid \operatorname{Re}(z) =1 \land \operatorname(Im) (z) \in [1-\sqrt(3), 1+\sqrt(3)] \} \end{eqnarray*}$

Also ich sehe nicht, daß das ein Kreis bzw. der Rand davon ist.

Und wenn man mal bei der 2. Menge phi=0 setzt, dann erhalte ich z=4+i und das ist nicht in der 1. Menge enthalten.

11.10.2006, 10:35

think

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RE: Umformung im Komplexen
sry, da war ich wohl ein wenig schnell, also der Rand besteht aus einem Kreisabschnitt und einer Geraden. Der Kreis hat den MIttelpunkt [2,i] und den Radius 2. Desweiteren ist dort eine senkrechte Gerade zu sehen bei x=1. Nun soll man den Rand der Menge beschreiben. Also den Kreisabschnitt, welcher von der Geraden geschnitten wird.

Es soll der Rand bestimmt werden welcher von den Mengen:

$\begin{eqnarray*} A: \{\mid z \mid \geq \mid z-2 \mid \} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} B: \{\mid z -2 - i \mid < 2\} \end{eqnarray*}$

gesucht ist also:

$\begin{eqnarray*} \partial A \cap B = ? \end{eqnarray*}$

hoffe das hilft weiter.

11.10.2006, 21:52

Abakus

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RE: Umformung im Komplexen
Die geschweiften Mengenklammern in Latex kriegst du mit \{ und \}. Damit kannst du A und B dann richtig schreiben.

Wie es von der Skizze her aussieht, sind die Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreis zu berechnen. Damit könntest du die gesuchte Menge einfach angeben.

Grüße Abakus smile

13.10.2006, 22:05

think

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RE: Umformung im Komplexen
also wir man auf das Argument für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ kommt, habe ich nun verstanden (habs mit der Kreisgleichung gemacht und dann die Schnittpunkte mit der Geraden berechnet, dann kommt man auf den Wert von $\begin{eqnarray*} \sqrt {3} \end{eqnarray*}$ für den $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ .

Nun habe ich aber nochmal ne Frage, das Intervall ergibt sich durch scharfes Hinsehen, einmal $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ positiv und einmal negativ gezählt ok.

Aber ist denn in dieser Menge auch der Rand enthalten, den die Gerade bildet? weil so ist doch nur der Rand des Kreises im obigen Intervall beschrieben, oder?

lieben Gruß, think

14.10.2006, 00:26

Abakus

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RE: Umformung im Komplexen
Suchst du $\begin{eqnarray*} (\partial A) \cap B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \partial (A \cap B) \end{eqnarray*}$ ?

Dein Ergebnis (also dieses "Intervall") könntest du bitte einmal konkret in Mengenschreibweise angeben, ebenso die Mengen A und B sowie der vorkommende Rand.

Damit lässt sich dann arbeiten; so bin ich mir nicht völlig sicher, was gemeint ist.

Grüße Abakus smile

14.10.2006, 07:56

think

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RE: Umformung im Komplexen
Hallo nochmal,
ich habe, meiner Meinung nach einfach nur ein Vereinigungszeichen falsch interpretiert, und komme jetzt auf die Lösung:

also gegeben waren die Mengen:

$\begin{eqnarray*} A: \{\mid z \mid \geq \mid z-2 \mid \} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} B: \{\mid z -2 - i \mid < 2\} \end{eqnarray*}$ .

Gesucht war: $\begin{eqnarray*} \partial (A \cap B) = ? \end{eqnarray*}$

und als Ergebnis, auf welches ich jetzt auch komme lautet:

$\begin{eqnarray*} \partial (A \cap B) = \{ z \mid \operatorname{Re}(z) =1 \land \operatorname(Im) (z) \in [1-\sqrt(3), 1+\sqrt(3)] \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bigcup \{ z \mid z = 2+i+2*e^ {\left( i \varphi \right)}, \varphi \in [-(\pi-\arctan(\sqrt{3}) ,(\pi-\arctan(\sqrt{3})] \} \end{eqnarray*}$

14.10.2006, 12:18

Abakus

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RE: Umformung im Komplexen

Zitat:

Original von think
Gesucht war: $\begin{eqnarray*} \partial (A \cap B) = ? \end{eqnarray*}$

Das war von deiner Aufgabenstellung her nicht unmittelbar ersichtlich.

Zitat:

und als Ergebnis, auf welches ich jetzt auch komme lautet:

$\begin{eqnarray*} \partial (A \cap B) = \{ z \mid \operatorname{Re}(z) =1 \land \operatorname(Im) (z) \in [1-\sqrt(3), 1+\sqrt(3)] \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \bigcup \{ z \mid z = 2+i+2*e^ {\left( i \varphi \right)}, \varphi \in [-(\pi-\arctan(\sqrt{3}) ,(\pi-\arctan(\sqrt{3})] \} \end{eqnarray*}$

OK. In deiner Lösung müsstest du noch begründen, wie du darauf kommst. Für den Term $\begin{eqnarray*} \arctan(\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ gibt es noch einen kürzeren Ausdruck.

Grüße Abakus smile

14.10.2006, 13:26

think

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RE: Umformung im Komplexen
kürzer müsste man über $\begin{eqnarray*} \arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ hinbekommen.

und als Begründung zählt dann, mein Rechenweg, oder wie?

14.10.2006, 15:42

Abakus

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RE: Umformung im Komplexen

Zitat:

Original von think
und als Begründung zählt dann, mein Rechenweg, oder wie?

Bei einem geforderten Beweis müsstest du zeigen:

(1) alle Punkte der angegebenen Menge sind Randpunkte

und

(2) es gibt keine weiteren Randpunkte

Wenn du den Rand aber nur plausibel angeben sollst (davon gehe ich hier aus), mag der Rechenweg mit einigen Bemerkungen dazu (wie der Rand genau zustande kommt), bereits ausreichen.

Grüße Abakus smile

14.10.2006, 16:02

think

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RE: Umformung im Komplexen
na das hört man doch gern.

Nur mal rein interessehalber, wie würde ich denn zeigen, dass es keine weiteren Randpunkte gibt?

15.10.2006, 01:19

Abakus

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RE: Umformung im Komplexen

Zitat:

Original von think
Nur mal rein interessehalber, wie würde ich denn zeigen, dass es keine weiteren Randpunkte gibt?

Das zeigst du zB mit einem indirekten Beweis. Nimm an, es gäbe mindestens einen weiteren Randpunkt und führe diese Annahme dann zum Widerspruch.

Grüße Abakus smile

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