Galoiserweiterung

08.12.2009, 08:31	mero13	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoiserweiterung Mir ist folgendes nicht ganz klar: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die Galoisgruppe von der Galoiserweiterung $\begin{eqnarray} E\|K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \in Fix(G) \end{eqnarray}$ (wobei o.E. $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ im algebr. Abschluß $\begin{eqnarray} \tilde{K} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ liege). Nun setzt man einen K-Homomorphismus $\begin{eqnarray} K(\alpha) \to \tilde{K} \end{eqnarray}$ fort zu einem Homomorphismus $\begin{eqnarray} \sigma: K(\alpha) \to \tilde{K} \end{eqnarray}$ . Natürlich ist $\begin{eqnarray} \sigma \in G \end{eqnarray}$ (weil ja $\begin{eqnarray} E\|K \end{eqnarray}$ normal ist) und damit wird $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ fixiert. Wie folgert man daraus nun $\begin{eqnarray} [K(\alpha):K]_{sep} = 1 \end{eqnarray}$ ? D.h. ja, es gibt nur eine einzige Fortsetzung von $\begin{eqnarray} K \to \tilde{K} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} K(\alpha) \to \tilde{K} \end{eqnarray}$ . Oder anders formuliert besitzt das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nur eine einzige Nullstelle. Irgendwie kann ich aber keines von beiden aus obigem folgern
08.12.2009, 12:27	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Notation: $\begin{eqnarray} \mathrm{Fix}(G) := \{ \alpha \in E \mid \sigma(\alpha) = \alpha \quad\forall \sigma \in G\} \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Dann ist die Aussage doch klar: Jeder K-Homom. $\begin{eqnarray} K(\alpha) \to \tilde K \end{eqnarray}$ fixiert doch $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist der einzige Erzeuger!
09.12.2009, 22:01	mero13	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich habs immer noch nicht kapiert. Und dazu noch einen Schreibfehler oben: $\begin{eqnarray} K(\alpha) \to \tilde{K} \end{eqnarray}$ soll fortgesetzt werde zu $\begin{eqnarray} \sigma: E \to \tilde{K} \end{eqnarray}$ (oben gabs ja nichts fortzusetzen...) Also bis zu dem Punkt dass $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ fixiert wird ist alles klar. Vielleicht sollte ich dazu sagen, dass ich mich gerade erst in Körpererweiterungen einlese - vielleicht habe ich beim Separabilitätsgrad etwas nicht verstanden. Könntest du vielleicht kurz für Dumme erklären, wie man auf diesen Separabilitätsgrad kommt?
10.12.2009, 07:00	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Separabilitätsgrad ist ja die Anzahl der Homomorphismen von K(alpha) in einen alg. Abschluss(man hat gezeigt dass es egal ist welchen Abschluss man dazu nimmt da alle isomorph sind). Jetzt haben wir gezeigt: Alle diese Homomorphismen fixieren alpha. D.h. also für alle dieser Homomormphismen werden sowohl K als auch alpha gleich gelassen. Durch K und alpha ist aber bereits der ganze Körper "bestimmt", d.h. alle Elemente des Körpers werden gleichgelassen. Damit kommt nur noch die Identität als einzige Homomorphismus in Frage. Also gibt es nur einen Homom. in einen alg. Abschluss und damit ist der Sep.Grad 1

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »