Wie erstelle ich aus einer gegebenen Funktion eine Potenzreihe?

08.12.2009, 11:34	dienina	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie erstelle ich aus einer gegebenen Funktion eine Potenzreihe? Hallo zusammen, ich sitze grade mit meiner Kommilitonin vor unserem Analysis I Übungsblatt für diese Woche und uns rauchen die Köpfe. Wir kommen soweit ganz gut klar, aber eine Aufgabe raubt uns die Nerven. Wir haben schon danach gegoogelt, mit anderen gesprochen, bei euch im MatheBoard gesucht, in der UniBib gelesen, aber nichts hilft uns weiter. Daher habe ich mich jetzt mal angemeldet und stelle zunächst einmal die vollständige Aufgabenstellung und danach unsere Frage ein: (Wie erwähnt, ich habe mich grade angemeldet und daher noch nicht mit "Latex" gearbeitet, ich bemühe mich aber und hoffe, dass es verständlich wird. Sei f: ( -2, 2 ) --> $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ definiert durch f(x) = $\begin{eqnarray} \frac{1}{8+x^{3} } \end{eqnarray}$ . Stellen Sie f auf ( -2, 2 ) als Potenzreihe der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~ a(mit Laufindex k) x^{k} \end{eqnarray}$ dar. Unsere Frage ist jetzt, wie man aus einer Funktion eine Potenzreihe erstellt? In Büchern finden wir immer nur den Hinweis, das Quotientenkriterium anzuwenden, um zu testen ob die Reihe konvergiert... Aber das hilft uns leider gar nicht weiter. =( Wir wollen jetzt erst einmal die Zahlen von "-2" bis "2" in 0,5er Schritten einsetzen und sehen was dabei herauskommt und ob man das weiter verwerten kann. Ist das schon mal der richtige Anfang? Wir erhoffen uns von euch einen Ansatz zu bekommen, mit dem wir weiter arbeiten können. Vielen Dank schon mal im Voraus!!! dienina
08.12.2009, 11:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde mal an die geometrische Reihe denken. Wenn man genau hinschaut ist f(x) nämlich eine solche.
08.12.2009, 12:34	dienina	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also erst einmal danke für die schnelle Antwort! Wir sind in der Zwischenzeit das Kapitel von geometrischen Reihen nochmal durchgegangen, allerdings ist uns nicht klar, wie man darauf kommt, dass es sich bei f(x) = $\begin{eqnarray} \frac{1}{8+x^{3} } \end{eqnarray}$ überhaupt um eine geometrische Reihe handelt. Wärst du bereit uns das nochmal kurz zu erläutern? Das wäre echt sehr lieb. Bei unseren Definitionen und Beispielen werden die geometrischen Reihen durch $\begin{eqnarray} \sum_{v=0}^\infty~z^{v} = \frac{1}{1-z} \end{eqnarray}$ angegeben. Vielleicht hilft uns dieser Weg, die Lösungsansätze zu verstehen. Denn, wenn man die Funktion schon mal in diese Form bringen kann $\begin{eqnarray} \sum_{v=0}^\infty~z^{v} \end{eqnarray}$ , dann ist man ja bereits sehr nah an der Form von Potenzreihen dran. Hierzu noch eine Frage: Kann man bei Potenzreihen das a=1 setzen, sodass man dafür, egal welches k man einsetzt, immer 1 bekommt? Dann könnte man nämlich die Form der geometrischen Reihe soweit übernehmen, müsste dann halt nur noch überdenken, dass das für den Abschnitt von (-2, 2) angegeben ist. Ich hoffe, dass ist okay für dich oder auch andere, die diesen Eintrag hier lesen. lgs, dienina
08.12.2009, 14:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} z^k = \frac{1}{1-z} \, , \ \ \|z\| < 1 \end{eqnarray}$ Erkennst du $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ wieder? $\begin{eqnarray} \frac{1}{8 + x^3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{1 - \left( - \frac{x}{2} \right)^3} \end{eqnarray}$ Und wie übersetzt sich die Bedingung $\begin{eqnarray} \|z\| < 1 \end{eqnarray}$ als Bedingung für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ?
08.12.2009, 14:39	dienina	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ vor dem Bruch sind ja dann bloß noch ein Faktor mit dem das multipliziert wird. Also ist in diesem Fall das z = $\begin{eqnarray} (-{\frac{x}{2}})^{3} \end{eqnarray}$ . Heißt also $\begin{eqnarray} \| (-{\frac{x}{2}})^{3} \| < 1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \| -\frac{x^{3} }{8} \| < 1 \end{eqnarray}$ Da kommt also als Ergebnis heraus, dass das x nicht kleiner gleich -2 werden darf und nicht größer gleich +2, damit die Bedingung erfüllt bleibt! Genau was die Aufgabenstellung verlangt!!! Oh wow, ihr seid echt super. Damit ist das Blatt quasi gerettet!! Dankeschön, echt super lieb von euch lgs, dienina
08.12.2009, 15:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie heißt nun die Potenzreihe? Übrigens kann man, da einem Betrag die Vorzeichen egal sind und er mit der Multiplikation verträglich ist, schneller umformen: $\begin{eqnarray} \left\| - \left( - \frac{x}{2} \right)^3 \right\| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\| \frac{x}{2} \right\|^3 < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left\| \frac{x}{2} \right\| < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{\|x\|}{2} < 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ \|x\| < 2 \end{eqnarray}$
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08.12.2009, 19:18	dienina	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also in der Zwischenzeit bin ich nach hasue gefahren und hab mir die Aufgabe nochmal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen. Jetzt bin ich zu folgendem Ergebnis gekommen: Die Potenzreihe der Funktion $\begin{eqnarray} \frac{1}{8+x^{2} } \end{eqnarray}$ lautet wie folgt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~(\frac{1}{8}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ^{k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ((-\frac{x}{2})^{3})^{k} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \| x \| < 2 \end{eqnarray}$ Da bei dem Bruch $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ die Variable "k" gar nicht vorkommt, kann also gar nichts "laufen" und somit bleibt es wie es ist. Das $\begin{eqnarray} (-\frac{x}{2})^{3} \end{eqnarray}$ ist ja, wie in vorherigen Einträgen festgestellt mein z, also muss es nur noch $\begin{eqnarray} hoch^{k} \end{eqnarray}$ "genommen" werden. Ich hoffe, ich habe das jetzt richtig verstanden und angewandt. In jedem Fall kann ich euch versprechen, dass ich mir ne Menge Gedanken über die Aufgabe gemacht habe und mir auch wirklich viel Mühe gebe. und euch sehr sehr dankbar für eure Hilfe bin!!!!!! lgs, dienina

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