Taylorformel: Bis zur wievielten Ableitung rechnen?

08.12.2009, 13:02

Jojo2000

Taylorformel: Bis zur wievielten Ableitung rechnen?

Zuerst einmal ein Hallo von mir an alle hier im Forum!

Ich habe ein Frage zur Taylorformel. Mir ist soweit klar, dass ich damit eine Funktion durch Taylorpolynome annähern kann. Wenn ich aber nun dieses Polynom ausrechnen möchte, verstehe ich nicht, aus wievielen Summanden das Polynom besteht, d.h. bis zur wievielten Ableitung ich rechnen muss. In einer Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (\frac{f^{(k)}(x_0)}{n!}) + R_n(x) \end{eqnarray*}$

Dabei sei $\begin{eqnarray*} R_n(x) \end{eqnarray*}$ das Restglied und $\begin{eqnarray*} f^{(k)} \end{eqnarray*}$ die k-te Ableitung.

Ich weiß nun nicht woher ich weiß wie groß $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.
Kann mir das jemand erklären?
Vielen Dank!

Jojo2000

08.12.2009, 13:10

lgrizu

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RE: Taylorformel: Bis zur wievielten Ableitung rechnen?
das kommt darauf an, was gefordert ist;
die aufgabenstellung für taylorentwicklung wird wahrscheilich so lauten dass du das taylorpolynom eines bestimmten grades bilden sollst.
in der anwendung ist es davon abhängig, wie gross der fehler sein darf, oder wie klein er sein soll.
wenn du eine n-mal diffbare funktion hast ist das grösstmögliche n ja gegeben, da dann $\begin{eqnarray*} f^{n+1}=0 \end{eqnarray*}$ ist.

08.12.2009, 13:18

Jojo2000

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Hi!

Danke für deine Antwort!
Achso, durch mehr Summanden wird also lediglich der Fehler minimiert, schon einmal gut zu wissen :-)
In den Aufgabenstellungen ist leider kein Grad des Polynoms angegeben, dort steht immer lediglich "Zeigen Sie mithilfe der Taylorformel..."

08.12.2009, 13:20

lgrizu

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...ja und was sollst du zeigen?

08.12.2009, 13:23

Jojo2000

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Korrektheit von Ungleichungen oder Grenzwerte eines Bruches, indem man die Taylorformel auf den Zähler anwendet.
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} |\sin(x)-x|\le |x|^3 \end{eqnarray*}$

08.12.2009, 13:31

lgrizu

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RE: Taylorformel: Bis zur wievielten Ableitung rechnen?

Zitat:

Original von Jojo2000

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (\frac{f^{(k)}(x_0)}{n!}) + R_n(x) \end{eqnarray*}$

so ist das falsch, die taylorreihe ist:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n (\frac{f^{(k)}(x_0)}{n!}) (x-x_0)^{k}+ R_n(x) \end{eqnarray*}$

hast du noch fragen, oder klappt das so?

08.12.2009, 13:37

Jojo2000

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Mh, ja du hast Recht, das hab ich in der Formel vergessen, aber auch bei Aufgaben immer die korrekte Formel benutzt. Ich kann die Aufgaben auch lösen, das ist nicht das Problem, bis jetzt hab ich es immer mit der 2-ten Ableitung (und 3. im Restglied) gemacht, aber den Sinn dahinter nie verstanden und dachte mir, dass es bestimmt nicht immer korrekt ist nur die 2./3. Ableitung zu benutzen.

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