Holomorphe Funktionen mit Identitätssatz finden

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stereo Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphe Funktionen mit Identitätssatz finden
Gibt es eine in einer Umgebung von holomorphe Funktion f mit

a)

b)

c)

Die Notation macht verwirrt mich hier bei allen 3 Aufgaben. Ich schreib mal was ich meine:

zu a)

Sei , für n -> oo geht die Folge gegen 0.

Somit gilt:



Ist das der Bezug zum Komplexen?

Meine Lösung zur a) :





Bin für jeden Rat dankbar.

(Bei der b würde ja auch 0 rauskommen, zur c habe ich gar keinen Ansatz)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b):



Und mit heißt das?

Zu a):

Nimm an, daß es ein solches gibt. Dann ist es offenbar nicht konstant. Andererseits muß aus Gründen der Stetigkeit gelten (laß gehen). Damit ist



holomorph in einer Umgebung von (bei ist die stetige Ergänzung zu nehmen). Und jetzt betrachte speziell für gerade . Was folgt aus dem Identitätssatz über ? Wie übersetzt sich das für ? Paßt das mit den für geforderten Eigenschaften zusammen?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Also so richtig habe ich das Problem noch nicht verstanden, deswegen fällt es mir so schwer die Aufgabe zu bearbeiten.

zu a)

1. Fall: n=2k



2. Fall: n=2k+1




Jetzt versuche ich das auszuwerten:

Meine Intuition sagt mir jetzt so eine Funktion f gibt es nicht, dann sie müsste holomorph sein, dh auch stetig.

Fazit:

Die Funktion f ist nicht stetig, somit kann sie nicht holomorph sein.

Das was du geschrieben hast versteht ich nicht ganz.



Zur b)

Reicht es wenn ich dann schreibe dass die Funktion f auf ganz C holomorph ist, bis auf die Singularitäten 1 und -1. Somit ist die Funktion um 0 holomorph.


Danke für deine Hilfe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von stereo
Das was du geschrieben hast versteht ich nicht ganz.


Schau, da haben wir dasselbe Problem. Diesen Satz könnte ich wörtlich genau so aussprechen (natürlich ohne t). Augenzwinkern

Zu b)
Es steht da - und du siehst es nicht! (Und ich dachte schon, mit meiner Umformung hätte ich alles verraten.)

Zu a)
Wieso aus deinen Ausführungen die Unstetigkeit bei 0 folgt, erschließt sich mir nicht. Bleib mal nicht im Ungefähren, schon schreib genau auf, was Voraussetzung und Behauptung ist. Bei einem indirekten Beweis: Was ist die Annahme, von der du ausgehst? Wie kommst du zu einem Widerspruch?
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Das liegt eben daran dass ich den Identitätssatz nicht richtig anwenden kann. Das entschuldige ich. Also ich Versuche man nicht krampfhaft diesen anzuwenden.

Fangen wir bei der b) an:



mit folgt:





f ist holomorph in einer Umgebung um 0. Jedoch hat man das doch schon hier gesehen:



Falls ich jetzt voll an der Antwort vorbei schweife, dann tut es mir Leid - aber ich weiß nicht was ich hier sonst machen soll.

zur a)

Ok, ich versuche es:

Ich habe für gerade n gezeigt, dass es eine Funktion g(z)=z gibt - sodass f in unendlich vielen Punkten mit g übereinstimmt (Es existiert ein HP).

Und ich habe für ungerade n gezeigt, dass es eine Funktion h(z)=-z gibt - sodass auch hier f in unendlich vielen Punkten mit h übereinstimmt.

Also ich f nicht holomorph, da 2 Häufungspunkte existieren.

Ist dies so korrekt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) kann ich dir nicht helfen. Meine Mahnung, nicht im Ungefähren zu bleiben, hast du völlig außer acht gelassen. Wie soll man einen Beweis beurteilen, wenn einem der Beweisführende weder Voraussetzungen noch seine Bezeichnungen und Festlegungen mitteilt.

Was willst du bei b) eigentlich? Gefragt ist, ob es eine holomorphe Funktion gibt, so daß ...
Und ja, so eine gibt es, nämlich die hier:



Die Holomorphie in einer Umgebung von 0 ist offensichtlich (Potenzreihe überflüssig, die Holomorphie folgt aus der Quotientenregel). Die Forderung kann man durch Nachrechnen überprüfen. Fertig.
 
 
stereo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Die Holomorphie in einer Umgebung von 0 ist offensichtlich (Potenzreihe überflüssig, die Holomorphie folgt aus der Quotientenregel). Die Forderung kann man durch Nachrechnen überprüfen. Fertig.


Was soll ich denn nachrechnen? Ich habe gezeigt dass es eine solche Funktion f gibt.
Es tut mir wirklich Leid dass ich mich gerade so dumm anstelle.

Zur a)

Behauptung:
Die Funktion f ist nicht konstant.

Beweis:



Angenommen es gibt eine Funktion f mit geforderten Eigenschaften, dann:

1. Fall (n gerade):

Ich betrachte die Funktion g(z) = z und die Funktion f. Nun definiere ich mit die Folge .

Die Menge besitzt in einen Häufungspunkt.
-> Es existiert eine solche Funktion, nämlich g(z).

2. Fall (n ungerade)

Nun definiere ich die Funktion h(z)=-z und schaue mir wieder die Häufungspunkte mit Hilfe der gleichen Folge an.

besitzt wieder einen den Häufungspunkt

Nun sagt auch hier der Identitätssatz: Es existiert eine Funktion, diese ist h(z).


Hier ist der Widerspruch, da h(z) ungleich g(z).


Ist die Beweisführung jetzt so verständlich? Nochmals danke für deine Hilfe
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