Konvergenz einer Reihe

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Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe
Hallo,

haben jetzt mit der Konvergenz von Reihen angefangen und bin mir noch ziemlich unsicher.

Also, ich soll überprüfen ob folgende Reihe konvergent ist.

.

Als erstes hab ich umgeformt.



Dann den Zähler abgeschätzt (für hinreichend große r):

Und den Nenner mit:

Daraus folgt:

D.h. es gibt jetzt einen Index r=n+1 ab dem gilt:



Und da konvergiert, muss auch konvergieren. Somit ist konvergent.

Geht das so durch oder wo sind noch Fehler?

Danke und Gruß
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe
Alles ok. Freude
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hab ich doch noch ein paar kleine Fragen Augenzwinkern

es geht um reihen mit Logarithmus.

i)

Es gilt für alle r, dass , folglich

, daher Reihe divergent.

ii)

Hier hab ich die selbe Abschätzung genommen wie bei i) => Reihe divergent.

iii)

Hier hab ich als Majorante genommen und gefolgert, dass die Reihe konvergiert.

Wie schon gesagt, bin noch unsicher bei den Sachen, bräuchte ein kurzes Feedback.

Schonmal vielen Dank
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Andi24
Es gilt für alle r, dass , folglich

, daher Reihe divergent.

Hier hilft einfaches logisches Nachdenken. Nur weil du eine Reihe gefunden hast, die größer aber divergent ist, muß die kleinere Reihe nicht auch noch divergent sein. smile

Versuche mal das Verdichtungskriterium. Ebenso auch bei der 2. Reihe. Die Abschätzung für die 3. Reihe ist ok.
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Abschätzungen bei den ersten beiden Reihen waren Käse unglücklich

aber wenn ich die erste so umforme:



kann ich doch schon wegen der divergenz von 1/r auf die divergenz der gesamtreihe schließen, oder?!

Analog dann für die zweite Folge.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Da müßte ja auch divergieren. Augenzwinkern
Andi24 Auf diesen Beitrag antworten »

Habs zuerst ohne Verdichtungskriterium versucht, da wir das in der Vorlesung noch nicht hatten. Seh jetzt aber keine Möglichkeit, wie ich das ohne hinbekommen soll.


Also habs jetzt mit dem Verdichtungskriterium gemacht und dann ist es klar.

die erste log-Reihe divergiert, die zweite konvergiert.

Danke nochmal für deine Mühe mit mir smile
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