Gradient Betragsfunktion

08.12.2009, 16:37	Die Ente Wurzel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient Betragsfunktion Sei $\begin{eqnarray} f:]0, \infty[ \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Funktion und $\begin{eqnarray} V(\vec{x} ):=f(\|\vec{x} \|) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ (ohne den Nullvektor). Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} grad_{\vec{x} }V \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ (ohne den Nullvektor). Soweit zur Aufgabe. Augenscheinlich muss ich hier die Kettenregel verwenden. $\begin{eqnarray} grad_{\vec{x} }V=f'(\|\vec{x}\|)\cdot grad_{\vec{x} }b \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} b(\vec{x} )=\|\vec{x} \| \end{eqnarray}$ ist. Wie komme ich jetzt aber auf den Gradienten des Betrages ? Der Betrag eines Vektors ist doch eine skalare Größe, und wonach leite ich ab? Wenn ich z.B. den Gradienten der Funktion $\begin{eqnarray} g(x,y)=xy^2+2 \end{eqnarray}$ bilden soll dann leite ich g einmal nach x und einmal nach y ab und erhalte $\begin{eqnarray} grad_{(x,y)}g= \begin{pmatrix} y^2 \\ 2xy \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Aber wie ich oben weiterkomme weiß ich nicht, die Lösung kann ich auch nicht nachvollziehen.
08.12.2009, 17:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} b(x_1,x_2,x_3) = \left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ gilt in der Tat $\begin{eqnarray} V = f \circ b \end{eqnarray}$ . Gemäß Kettenregel folgt: $\begin{eqnarray} V' = \left( f' \circ b \right) \cdot b' \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} b' \end{eqnarray}$ für den Gradienten von $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ steht. Oder mit Variablen $\begin{eqnarray} V'(x_1,x_2,x_3) = f' \left( b(x_1,x_2,x_3) \right) \cdot b'(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ ist eine 1×1-Matrix, also ein Skalar. $\begin{eqnarray} b' \end{eqnarray}$ ist eine 1×3-Matrix, also eine Zeile. Die Matrizenmultiplikation liefert eine 1×3-Matrix, also wieder eine Zeile, ganz, wie es sein muß. $\begin{eqnarray} b'(x_1,x_2,x_3) = \left( \frac{x_1}{\left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}}} , \frac{x_2}{\left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}}} , \frac{x_3}{\left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}}} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{\left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}}} \left( x_1 , x_2 , x_3 \right) \end{eqnarray}$
09.12.2009, 18:04	Die Ente Wurzel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gradient Betragsfunktion Bis zum Punkt wo du den Gradienten von b berechnest ist mir alles klar. Aber wie du dann auf $\begin{eqnarray} b'(x_1,x_2,x_3) = \left( \frac{x_1}{\left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}}} , \frac{x_2}{\left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}}} , \frac{x_3}{\left( x_1^{\, 2} + x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} \right)^{\frac{1}{2}}} \right) \end{eqnarray}$ kommst verstehe ich noch nicht und ist auch mein eigentliches Verständnisproblem. Wenn man b ausführt erhält man ja einen Skalar, da der Betrag eines Vektors ja eine skalare Größe ist. Im anderen Beispiel habe ich ja die Funktion nach den einzelnen Variablen abgeleitet und damit den Gradienten erhalten. Wie kommt man bzw. du hier dann auf den richtigen Gradienten ?
09.12.2009, 21:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das habe ich ja auch gemacht, die Funktion $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ nach den einzelnen Variablen abgeleitet: $\begin{eqnarray} b'(x_1,x_2,x_3) = \left( \frac{\partial b}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3) , \frac{\partial b}{\partial x_2}(x_1,x_2,x_3) , \frac{\partial b}{\partial x_3}(x_1,x_2,x_3) \right) \end{eqnarray}$
10.12.2009, 11:02	Die Ente Wurzel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja schon mal schön. Ich beiße mir aber am Ableiten nach den einzelnen Komponenten die Zähne aus. Ich habe jetzt eine Weile recherchiert und dabei nur gefunden, dass es irgendwie mit der mehrdimensionalen Ketten- und Produktregel zusammenhängt. Wie die einzelnen Schritte aber genau aussehen weiß ich noch nicht, vor allem weil mich die Wurzel stört. Sonst wäre das Ableiten nach den einzelnen Komponenten ja auch "einfach".
10.12.2009, 17:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ableitest, mußt du $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ wie Konstante behandeln. Ich führe einmal die folgenden Umbenennungen durch: $\begin{eqnarray} x_1 = t \, , \ x_2^{\, 2} + x_3^{\, 2} = a \end{eqnarray}$ Dann schreibt sich das so: $\begin{eqnarray} b = \sqrt{t^2 + a} \end{eqnarray}$ Und jetzt hast du nur diese Funktion mit der Variablen $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ zu differenzieren, wobei $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine Konstante ist. So erhältst du $\begin{eqnarray} \frac{\partial b}{\partial t} = \frac{\partial b}{\partial x_1} \end{eqnarray}$ .
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10.12.2009, 21:17	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Nagel mich ans Kreuz. Auf die richtige Ableitung sind wir dann auch gekommen vorhin, da hatte ich allerdings kein Internet und konnte hier nicht schreiben. Ich habe mich aber in der Tat zu sehr von $\begin{eqnarray} x_2 , x_3 \end{eqnarray}$ irritieren lassen. Wenn ich nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ableite ist die äußere Ableitung $\begin{eqnarray} \frac{1}{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} } \end{eqnarray}$ und die innere Ableitung ist dann $\begin{eqnarray} 2x_1 \end{eqnarray}$ . Zusammen ergibt sich für diese Vartiable dann $\begin{eqnarray} \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2} } \end{eqnarray}$ , alles andere folgt analog für die anderen beiden Variablen. Vielen Dank für die Hilfe und die Zeit, die du dir genommen hast. P.S: Wieso ist der Gradient dieser Funktion ein Zeilenvektor, wo hingegen der andere aus dem Beispiel oben ein Spaltenvektor ist?
11.12.2009, 08:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob man den Gradienten als Zeile oder Spalte schreibt, ist egal, solange man nicht im Matrizenkalkül damit rechnet. Tut man Letzteres allerdings, muß man ihn als Zeile schreiben.

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