Basiswechsel

08.12.2009, 17:26

Physinetz

Basiswechsel

Hallo miteinander, hange an folgender Aufgabe:

Eine lineare Abbildung: $\begin{eqnarray*} \alpha : \mathbb R³ -- > \mathbb R³ \end{eqnarray*}$
soll die folgenden Bedingungen erfüllen:

$\begin{eqnarray*} \alpha (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha (\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \alpha(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} _E\alpha_E \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz:

Ich weiß nun das die Vektoren durch die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , so abgebildet werden:

Aus Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird durch die Abbildung der Vektor: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich ja laut Aufgabenstellung herausfinden, wie der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aussieht, wenn er durch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, Ich soll also schaun, wie der Einheitsvektor $\begin{eqnarray*} [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ [/latex] durch die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , also in einer anderen Base, aussieht, richtig?

Irgendwie muss das mit Linearkombinationen gehen, aber ich komme einfach nicht auf den Ansatz. Irgendwie liegt es mir auf der Zunge, aber auch doch nicht.

Vielleicht könnt ja ihr helfen, Dankeschön!

Ich bleib am Ball

08.12.2009, 19:55

El_Snyder

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RE: Basiswechsel

Zitat:

Original von Physinetz
Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} _E\alpha_E \end{eqnarray*}$ .

Ist damit die Darstellungsmatrix der Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bezüglich der Einheitsbasis gemeint? Wenn ja, wie kommst du dann auf diesen Ansatz:

Zitat:

Original von Physinetz
Nun soll ich ja laut Aufgabenstellung herausfinden, wie der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aussieht, wenn er durch $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ abgebildet wird

08.12.2009, 20:34

Physinetz

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Ehrlich gesagt weiß ich es nicht was damit gemeint ist, deshalb oben nur meine Vermutung, könnte auch komplett falsch sein, mehr stand nicht dabei...

Und der Workshop "Basis"wechsel bringt mich nicht wirklich weiter...

08.12.2009, 22:39

tigerbine

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RE: Basiswechsel
Der Workshop bringt dich nicht weiter, weil es hier auch nicht um ihn geht. Es ist anzunehmen, dass die Koordinatenvektoren bzgl. einer Basis E angegeben sind. Aes andere macht ohne weitere Angaben keinen Sinn.

Mit

$\begin{eqnarray*} \alpha (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha (\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind die Bilder dreier lu Vektoren unter Alpha gegeben. Damit sollst du die lineare Abbidungsmatrix darstellen. In deren Spalten stehen nun aber die Bilder der Einheitsvektoren. Da musst du die Eigenschaften der lin. Abbildung benutzen, um rauszukriegen, wie diese Bilder aussehen und sie dann in die Spalten der Matrix schreiben.

10.12.2009, 20:37

Physinetz

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Zitat:

Sind die Bilder dreier lu Vektoren unter Alpha gegeben. Damit sollst du die lineare Abbidungsmatrix darstellen. In deren Spalten stehen nun aber die Bilder der Einheitsvektoren. Da musst du die Eigenschaften der lin. Abbildung benutzen, um rauszukriegen, wie diese Bilder aussehen und sie dann in die Spalten der Matrix schreiben.

In meinen Worten heißt das:

Die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ liefert mir von den Urbildern :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Bilder der Vektoren, diese sind dann eben:

$\begin{eqnarray*} \alpha (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha (\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun soll zu dieser gegebenen Abbildung man bezeichne sie als $\begin{eqnarray*} \alpha: V-->W \end{eqnarray*}$ die Abbildungsmatrix gefunden werden, die mir dann eben einen Vektor von Base B in einen Vektor in Base C umrechnet.

Und das Problem ist hier, dass diese lineare Abbildungsmatrix nunmal aus den Bildern der EINHEITSVEKTOREN bestehen, und nicht aus irgendwelchen VEKTOREN.

Richtig?

Das heißt ich muss jetzt alles eben die Einheitsvektoren jeder Base herausbekommen.

Richtig?

Und dazu soll ich "irgendwelche" (bloß welche) Eigenschaften nutzen?

Beste Grüße Physi

10.12.2009, 20:51

tigerbine

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RE: Basiswechsel
Du sollst die Matrix bzgl. der Standardbasis bestimmen. Steht doch da.

Zitat:

Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} _E\alpha_E \end{eqnarray*}$ .

. Dazu brauchst du die Bilder der Einheitsvektoren. Die hast du aber nicht. Du musst sie berechnen und dazu eben die 3 Bilder benutzen, die du kennst.

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E= 0 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}_E -1 \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E + 0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_E \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich nun doch

$\begin{eqnarray*} \alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E) = 0\cdot \alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}_E) - \alpha(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E) + 0 \cdot \alpha(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_E ) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}_E \end{eqnarray*}$

etc.

10.12.2009, 21:13

Physinetz

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War das dann alles falsch was ich geschrieben habe, dass ich zwei verschiedene Basen habe und nun auf die Einheitsvektoren das umrechnen muss?

Ist das letzte E hier denn nicht falsch:

$\begin{eqnarray*} [latex]\alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E) = 0\cdot \alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}_E) - \alpha(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E) + 0 \cdot \alpha(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_E ) = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}_E \end{eqnarray*}$ [/latex]

Weil die Abbildung von einem Vektor in E ( hier unglücklich

1 0 0 ) ) ist ja wie du gezeigt hast:
(0 -1 0) , und die Abbildung ist ja dann in einer anderen Base und nicht in E ?

10.12.2009, 21:27

tigerbine

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Nein, das stimmt schon was ich geschrieben habe. Liegt hier nur daran, wie die Bilder unter alpha aussehen, dass das "ähnlich" aussieht.

$\begin{eqnarray*} \alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E) &&= 0\cdot \alpha(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}_E) - \alpha(\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}_E) + 0 \cdot \alpha(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}_E )\\&& =0\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}_E - \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_E + 0\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_E \\&&= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}_E \end{eqnarray*}$

10.12.2009, 21:55

Physinetz

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ist dann 0 -1 0 praktisch meine zweite Einheitsbase?

Also einmal eben die Base (1 0 0) (0 1 0) und (0 0 1) und dann noch

die andere Base (0 -1 0 ) (...) (...)

oder stimmt das auch wieder nicht :-D langsam muss ich schon anfangen zu lachen

oder hat das hier etwa gar nichts mit Basiswechsel zu tun?^^ ich glaube das könnte hinhauen ^^

Das würde bedeuten, das der Basiswechsel ein Spezialfall von diesem Typ von Aufgabe ist?

10.12.2009, 22:03

tigerbine

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Es hat nichts mit einem Basiswechsel zu tun. Wir haben ja gar keine Matrix gehabt, sondern nur Bilder von lu Vektoren. Die Bilder waren aber, wie auch die lu Vektoren bzgl. E angegeben.

Keine ahnung was du mit Spezialfall willst. Hier war kar die Anweisung: Finde die darstellene Matrix bzgl. E und nicht Stelle die Darstellende Matrix bzgl. E bzgl einer Basis B dar.

10.12.2009, 22:08

Physinetz

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ok gut dann hab ich das endlich auch gecheckt worums da geht^^

Bei einer Aufgabe, die eine lineare Abbildung gegeben hat in der Form:

R³ -- > R³ x -- > Ax

und man soll nun die Abbildung in der Base B angeben, wäre dann nochmal ein Touch schwieriger wohl...

10.12.2009, 22:10

tigerbine

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Nicht schwieriger. Aufwendiger.

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