krasses integral

10.06.2004, 03:24	Mutza	Auf diesen Beitrag antworten »
krasses integral http://www.clan-mutz.de/uni/Integral.gif Mich interessiert nur, wie ich das Integral aufgelöst bekomme, den Rest schaff ich allein.
10.06.2004, 09:12	henrik	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher Rest?
10.06.2004, 09:39	Mutza	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ok, gute frage... war schon spät... der rest war ja eh konstant...
10.06.2004, 12:07	Thomas L.	Auf diesen Beitrag antworten »
für ungerade n ist auch die Funktion ungerade, und damit ist das Integral 0, falls es exsistiert.
10.06.2004, 13:09	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ungerade n ist, wie Thomas bereits geschrieben hat, der Wert 0. Deshalb betrachte ich nur gerade n: Für diese ist der Integrand gerade, deshalb gilt: $\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}x^n \exp(-x^2)dx=2\int_0^{\infty}x^n \exp(-x^2)dx \end{align}$ Substitution x^2=z führt sofort auf $\begin{align} \int_0^{\infty} z^{\frac{n+1}{2}-1}\exp(-z)dz \end{align}$ und hier erkennt man die Gammafunktion, das Ergebnis lautet also für gerade n $\begin{align} \Gamma(\frac{n+1}{2}) \end{align}$ Jetzt weiß man natürlich (bzw leitet es sich leicht her), dass gilt $\begin{align} \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \end{align}$ sowie $\begin{align} \Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi} \end{align}$ Damit kann man das Ergebnis noch umschreiben. Die dazu nötige Formel findest du hier (Nummer (48)): http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Es ergibt sich: $\begin{align} \Gamma(\frac{n+1}{2})=\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\cdot\cdot(n-1)}{\sqrt{2}^n}\sqrt{\pi} \end{align}$ und wenn man hier noch den Vorfaktor, der bei deiner Aufgabe auftritt, dazu multipliziert, bekommt man also als Endergebnis: $\begin{align} \frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot\cdot\cdot(n-1)}{\sqrt{2}^{n+1}}\exp(2) \end{align}$ Noch eine Frage zum Forum: Kann man diese Bastardsmilies eigentlich auf Dauer deaktivieren? Die stressen.
10.06.2004, 13:44	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab noch nichts gefunden, wie man die Smilies auf Dauer deaktiviert. Nur in einzelnen Beiträgen hab ich das bisher gesehen. Ich hab genau dasselbe rausgekriegt, wie Philipp, nur mit n/2-maliger partieller Integration (für n gerade). Dann hat man am Ende stehen: $\begin{align} 1 \cdot 3 \cdots (n-3)(n-1)\cdot 2^{-\frac{n}{2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \end{align}$ Das letzte Integral kann man durch eine Substitution in das Integral der Gausschen Glockenkurve überführen und erhält $\begin{align} \sqrt{\pi} \end{align}$ als Integral.
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