rekursiv definierte folgen |
| 08.12.2009, 19:56 | karinkarin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| rekursiv definierte folgen Zu a element der reellen zahlen wird die Folge (an)n element der natürlichen Zahlen über - a0 :=alpha, - an+1 := 1/4 ·(a²n +3), n element Natürliche Zahlen definiert. Zuerst sollen die möglichen Grenzwerte der Folge (an)n element N bestimmt werden mit hilfe von fixpunktgleichungen und dann muss ich die Folge (an)n element N auf Konvergenz in Abhängigkeit von alpha untersuchen. ein paar tipps habe ich dazu schon bekommen... - die Differenzen an+1-b als Funktion von an schreiben, n element N, wobei b ein möglicher Grenzwert der Folge (an) ist - das Monotonieverhalten der Folge und die Beschränktheit untersuchen - und die Fälle a = ±1,±3, a < -3 und a > 3, -3 < a < -1 und 1 <a < 3, -1 <a < 1 unterscheiden. ich bedanke mich schonmal im vorraus und würde mich über eure hilfe freuen. |
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| 08.12.2009, 21:16 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: rekursiv definierte folgen Hallo! Was sind deine Ideen zur Aufgabe und wo steckst du fest? Grüße Abakus 
PS: willkommen im Board 
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| 09.12.2009, 12:52 | karinkarin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: rekursiv definierte folgen also ich habe leider kaum ideen zu der aufgabe, ich weiß nicht wie ich den grenzwert rausfinden soll und was fixpunktgleichungen sind 
eine überlegung von mir wäre: lim n->unendlich von an =a => lim n->unendlich von an+1= a = lim n->unendlich 1/4 (a²n +3) = lim n->unendlich 1/4 (a² +3) so ähnlich hatten wir das in der vorlesung bei der berechnung von quadratwurzeln... dann habe ich die gleichung a= 1/4 (a² +3) wenn ich das nach a auflöse, kommt a1=3 und a2=1 raus, aber ich bezweifel, dass das meine grenzwerte sind. und wie ist das gemeint, dass ich die differenzen an+1 -b als funktion von an schreiben soll?! f(x) = 1/4 (x²+3) ? |
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| 09.12.2009, 23:40 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: rekursiv definierte folgen
Das ist schon mal gut gesehen. Wenn du überhaupt einen Grenzwert hast, dann kommen nur diese beiden in Frage. Jetzt musst du noch untersuchen, ob die Folge überhaupt konvergiert, und wenn ja, gegen welchen der beiden Kandidaten.
Vermutlich einfach so: Grüße Abakus
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| 10.12.2009, 22:06 | karinkarin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: rekursiv definierte folgen wenn die folge an konvergiert, dann muss sie doch monoton und beschränk sein oder?! also bei monotonie habe ich mir folgendes überlegt: a0:=alpha an+1:= 1/4 (a²n +3) => a0+1= 1/4 (a²0 +3) => a1= 1/4 (alpha² +3) annahme: die folge ist monoton wachsend, dann gilt: an+1>=an also a1 >= a0 => 1/4 alpha² +3/4 >= alpha => alpha² +3 >= 4alpha => alpha² -4alpha >= 3 für alpha >= 2 + wurzel5 und alpha <= 2 - wurzel 5 ist diese ungleichung erfüllt. habe ich damit gezeigt, dass die folge an monoton wachsend ist? ist sie ja eigentlich nicht oder?! aber wir sollen die konvergenz in abhängigkeit von alpha untersuchen... kannst du mir da weiterhelfen? |
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| 11.12.2009, 17:13 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: rekursiv definierte folgen
Umgekehrt wird ein Schuh draus.
Nein, du hast nur gezeigt, dass unter dieser Bedingung gilt. Aber das kannst du versuchen zu verallgemeinern.
Untersuche einfach die Rekursion für verschiedene Bereiche von , ähnlich wie du es oben schon getan hast, nur eben allgemein für . Wenn es dir gelingt, zB Monotonie und Beschränktheit nachzuweisen, kannst du auf Konvergenz schließen. Grüße Abakus
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| 13.12.2009, 01:15 | Explo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm also die monotonie für verschiedene Alpha kann man ja machen, indem man für die angeführten Fälle die monotonie untersucht (alpha = -1 ... -3<alpha<-1 usw) aber was ist dann mitder beschränktheit? wie zeig ichn die? |
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| 13.12.2009, 16:06 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du müsstest mal deine Rechnung zeigen. Allgemein bietet sich der Grenzwert als Schranke und Induktion zB als Beweisverfahren an. Grüße Abakus
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| 13.12.2009, 16:53 | karinkarin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok vielen dank für deine hilfe
jetzt bin ich schon ein gutes stück weiter gekommen |
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