Stetigkeit einer Funktion

08.12.2009, 20:21

Smaartis

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Stetigkeit einer Funktion

Hallo zusammen:

Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Untersuchen Sie die Funktion f: $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch:

f(x,y): { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {\frac{xy^{6}}{ x^{2}(x - 3y) + y^{2}(3x - y + 8y^{4} }} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \neq y -2y^{2} \\ x= y- 2y^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf Stetigkeit im Punkt (0,0).

Kann mir wer erklären wie man an die Sache rangeht?

08.12.2009, 21:12

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Hallo!

Im Nenner fehlt eine wichtige Klammer, wo steht die genau?

Ansonsten kannst du den Nenner erstmal umformen, denke ich; allerdings noch ohne zu sehen, ob das was bringt.

Grüße Abakus smile

smile

08.12.2009, 21:20

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
ach ja, genau!

f(x,y): { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} {\frac{xy^{6}}{ x^{2}(x - 3y) + y^{2}(3x - y + 8y^{4}) }} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie geht man denn da normalerweise vor(allgemein)?

Ich hab das noch nie gemacht...^^

08.12.2009, 21:35

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Du brauchst erstmal eine Idee, ob es zu beweisen oder zu widerlegen ist. Ein allgemeines Verfahren gibt es nicht, du kannst mit Epsilon-Delta arbeiten oder zB das Verhalten von Nullfolgen unter f betrachten.

Hier würde ich erstmal im Nenner was zusammenfassen.

Grüße Abakus smile

smile

08.12.2009, 22:54

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Ich habs jetzt so umgeformt...

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^{6}}{(x-y)^{3}+ y^{3}(8y^{3}-3)} \end{eqnarray*}$

08.12.2009, 22:59

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Wo hast du die 3 im letzten Nenner-Faktor her?

Grüße Abakus smile

smile

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08.12.2009, 23:22

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
achja,...

falsch abgeschrieben...

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^{6}}{(x-y)^{3}+ 8y^{6}} \end{eqnarray*}$

wie ginge es jetzt weiter?

Muss ich für x und y jeweils 0 einsetzen? oder nur für x oder nur für y?

oder muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} x= y- 2y^{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen?

verwirrt

verwirrt

08.12.2009, 23:29

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Smaartis
oder muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} x= y- 2y^{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen?

Genau das darf hier ja nicht eingesetzt werden und damit ist auch der Grund klar, wieso f dafür speziell definiert wurde.

Aber das ist schon mal eine wichtige Erkenntnis. Die Idee ist jetzt, möglichst nahe an diese "Ausnahmemenge" heranzugehen und zu schauen, was da passiert.

Betrachte also zB:

$\begin{eqnarray*} x= y- 2y^{2} + y^{100} \end{eqnarray*}$

Was würde hier passieren?

Grüße Abakus smile

smile

edit: Latex

08.12.2009, 23:39

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
wenn ich richtig eingesetzt habe, dann kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^{7}-2y^{8}+y^{106}}{(y^{100}-2y^{2})^{3}+ 8y^{6}} \end{eqnarray*}$

somit ist im nenner eine höhere potenz... was bedeut, das die folge gegen null konvergiert?!?

ps.: wie lange seid ihr hier eigentlich immer online?

08.12.2009, 23:50

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Smaartis
wenn ich richtig eingesetzt habe, dann kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^{7}-2y^{8}+y^{106}}{(y^{100}-2y^{2})^{3}+ 8y^{6}} \end{eqnarray*}$

somit ist im nenner eine höhere potenz... was bedeut, das die folge gegen null konvergiert?!

Also wenn y gegen Null geht und im Nenner die höhere Potenz steht, passiert was?

Ansonsten würde ich den Term mal weiter ausrechnen.

Grüße Abakus smile

smile

PS: online? Ist bei mir extrem unterschiedlich.

08.12.2009, 23:56

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
achso...

Das ergibt doch einen Widerspruch, da die Nulldivision nicht definiert ist!

Konkret heißt das jetzt was genau? Ist die Funktion im Punkt (0,0) also nicht stetig?

08.12.2009, 23:59

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Smaartis
Konkret heißt das jetzt was genau? Ist die Funktion im Punkt (0,0) also nicht stetig?

Erstmal ausrechnen und dann sagen, was beim Einsetzen einer Nullfolge passiert. Dann weißt du es.

Grüße Abakus smile

smile

09.12.2009, 00:21

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
da kommt a ziemlich lange wurst raus... smile

smile

setze ich dann etwa $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ein, dann konvergiert diese Folge gegen Null...

Die Folge nähert sich Null an, erreicht sie aber nie... somit kann sie in Null eigentlich nicht stetig sein...

Stimmt das so?

09.12.2009, 00:34

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Smaartis
da kommt a ziemlich lange wurst raus... smile

smile

setze ich dann etwa $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert diese Folge gegen Null...

Die Folge nähert sich Null an, erreicht sie aber nie... somit kann sie in Null eigentlich nicht stetig sein...

Stimmt das so?

Ausrechnen tust du den Nenner mit dem Binomischem Lehrsatz, das sollte RuckZuck gehen. Danach kannst du noch etwas kürzen.

Wenn du jetzt eine Nullfolge für y einsetzt, sollte die Bildfolge bestimmt divergieren; d.h. es ist gerade keine Nullfolge.

Da die Bildfolge nicht gegen den Funktionswert bei 0 konvergiert, ist f in 0 unstetig.

Grüße Abakus smile

smile

09.12.2009, 00:43

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
aber wenn ich die Nullfolge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ einsetze, dann n gegen unendlich gehen lasse, dann kommt doch zwangsläufig ein GW heraus der im Zähler gleich Null ist und im Nenner nicht.
-> er geht gegen Null.

Dann diviergiert er doch nicht!

Wo ist mein Fehler...?

09.12.2009, 23:19

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Rechnen wir also:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^{7}-2y^{8}+y^{106}}{(y^{100}-2y^{2})^{3}+ 8y^{6}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{y^7 - 2y^8 + y^{106}}{y^{300} - 6y^{202} + 12y^{104} - 8y^6 + 8y^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{y^7 - 2y^8 + y^{106}}{y^{300} - 6y^{202} + 12y^{104}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1 - 2y + y^{99}}{y^{293} - 6y^{195} + 12y^{93}} \end{eqnarray*}$

Mit y gegen 0 bliebe im Zähler eine 1 und der Nenner ginge gegen 0?

Kannst du dem zustimmen?

Grüße Abakus smile

smile

09.12.2009, 23:49

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Ja, da bin ich voll dabei...

09.12.2009, 23:55

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion
OK, also Nenner gegen 0 bedeutet, dass der Ausdruck divergent "abzischt". Damit haben wir es, denke ich Freude

Freude

Grüße Abakus smile

smile

10.12.2009, 00:10

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
aber im Nenner darf doch keine Null stehen.

Ich kenn mich gerade gar nicht aus.

Wieso kann man da eine Aussage treffen?

heißt das, in allen anderen Fälle konvergiert die Folge? Es geht doch darum eine Nullfolge zu finden, oder? Was wenn zb im zähler 2 und im nenner 3 rauskommt, wenn wir für y = 0 einsetzen? was würde das dann heißen?

10.12.2009, 00:22

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Smaartis
aber im Nenner darf doch keine Null stehen.

Ich kenn mich gerade gar nicht aus.

Wieso kann man da eine Aussage treffen?

heißt das, in allen anderen Fälle konvergiert die Folge? Es geht doch darum eine Nullfolge zu finden, oder? Was wenn zb im zähler 2 und im nenner 3 rauskommt, wenn wir für y = 0 einsetzen? was würde das dann heißen?

Im Nenner steht ja auch keine Null, er strebt nur gegen Null, wenn es y tut.

Alle anderen Fälle haben wir nicht untersucht (du darfst gerne).

Wir möchten ja gerne Unstetigkeit in Null nachweisen. Also geht es darum, eine Nullfolge zu finden, deren Bildfolge keine Nullfolge ist. Wenn im Zähler 2 und im Nenner 3 rauskommen würde, wäre das ebenfalls fantastisch: das wäre keine (Bild-)Nullfolge und f daher unstetig.

Schau dir die Idee in einem der vorangehenden Postings noch mal an.

Grüße Abakus smile

smile

10.12.2009, 00:37

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

Wenn die Folge oben gegen 1 geht und unten gegen Null geht, dann haben wir doch den GW $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ , oder?

Ich kann mir das gerade schwer vorstellen.

? $\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0 } \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ? = n? und wenn n gegen unendl. geht, dann divergiert die Folge. kann man sich das vll. so vorstellen?

10.12.2009, 00:41

Abakus

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RE: Stetigkeit einer Funktion

Zitat:

Original von Smaartis
? $\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0 } \frac{1}{y} = \frac{1}{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ ? = n? und wenn n gegen unendl. geht, dann divergiert die Folge. kann man sich das vll. so vorstellen?

Ja, so geht es. Setze für n ruhig 10, 100, 1.000 usw. ein, dann sieht man es.

Grüße Abakus smile

smile

10.12.2009, 01:05

Smaartis

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RE: Stetigkeit einer Funktion
Super!

Danke für die Hilfe! Wink

Wink

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