Winkel in Sinus umrechnen

11.10.2006, 13:59

Myself112

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Winkel in Sinus umrechnen

Hi,

hab schon vergebens nach einen Formel dafür gesucht.
Ich muss gerade einen Taschenrechenr Programmieren ohne irgendwelche funktionsbibliotheken.
Ist ja auch alles kein Problem, bis auf diese Geschichte mit dem Sinus, Cosinus und Tangens:

Konkret das Problem:
Der Benutzer soll einen Winkel eingeben und der Rechner soll dazu den entsprechenden Sinus ausspucken. Nur welche Formel muss ich dazu hinterlegen, um direckt aus einem Winkel den Sinus zu ermitteln?

Bzw. Es würde mir auch eine Formel reichen mit der ich das Bogenmaß in einen Sinus umrechnen kann.

Kennt jemand einen Formel dafür?

MfG

Myself

11.10.2006, 14:13

Lazarus

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Also ohne kompetent auf dem Bereich der Taschenrechnerprogramierung zu sein, vermute ich mal es wäre möglich über eine Taylorreihe belibige Genauigkeit zu erziehlen. Auch ähnliche Reihendarstellungen wir z.b. Produktreihen könnte man verwenden.

Andere Möglichkeit: Man definiert die e-funktion über die bekannte Reihe und definiert daraus dann Sinus und Cosinus.
Problem: ich weiss nicht wie sich das mit den komplexen Zahlen verähält, die ja damit zusammenhängen.

11.10.2006, 14:31

Myself112

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Danke schonmal,

aber ich galube mit der e-Funtion schieß ich eher den Rechner ab, als das da was sinvolles raus kommt.

Und bei der Taylor-Reihe fehlt mir völlig der Ansatz, wie das umzusetzen wäre.
Wo kann ich denn bei der Taylor-Reihe mit Winkel arbeiten?

Kennst du dich allgemein etwas mit Programmierung aus?

MfG

Myself

11.10.2006, 16:40

Sunwater

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also vielleicht hilft dir das:

$\begin{eqnarray*} \sin x = \sum_{K=0}^{\infty} ~ (-1)^k \frac{x^{2k + 1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

für Kosinus musst du in der Summe statt 2k+1 überall 2k schreiben.

Tangens dann durch sin x / cos x

11.10.2006, 17:10

Myself112

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Danke, ich werd mal probieren, das umzusetzen.

11.10.2006, 18:07

Frooke

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Aber die Idee von Lazarus ist doch gut:

Euler'sche Identität

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11.10.2006, 18:49

Lazarus

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Ja so hab ich das gemeint.
Natürlich sinngemäs umgeformt führt einen das zu:
$\begin{eqnarray*} \sin z = {\frac{1}{2}\,\mathrm{i}} \left(e^{\mathrm{i}z} - e^{-\mathrm{i}z} \right) \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \cos z = {\frac{1}{2}} \left(e^{\mathrm{i}z} + e^{-\mathrm{i}z}\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Kennst du dich allgemein etwas mit Programmierung aus?

Nein aber da gibts hier im Board andere.

Zitat:

aber ich galube mit der e-Funtion schieß ich eher den Rechner ab

Wieso schießts dir den Rechner, wenn du die e-Funktion definierst ?
mit $\begin{eqnarray*} \exp\left(x\right):=\sum_{n\in\mathbb N}~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ ist das ja ganz konfliktfrei und dann wie oben erwähnt über die Eulersche Identität. Problem wie gesagt nur die Komplexen Zahlen und ich weiss ja ned ob der des kann!

12.10.2006, 09:39

Myself112

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Ich hab das gerade mal hiermit Probiert:
$\begin{eqnarray*} \sin x = \sum_{K=0}^{\infty} ~ (-1)^k \frac{x^{2k + 1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

Problem ist nur, ich Spreng damit den Rahmen der Speicherkapazität der Größten Variablen unglücklich

unglücklich

(Und das schon beim 22. Schritt)

Zitat:

Problem wie gesagt nur die Komplexen Zahlen und ich weiss ja ned ob der des kann

Genau das meinte ich ja. Das System kennt keine Komplexen zahlen, sondern nur die standard Rechnungen ( + ; - ; * ; / ; Exponieren) und das halt auch nur mit den einfachen Rechenregeln.
Sprich, wenn ich ihm sag, er soll mir die Wurzel aus -1 ziehen, zeigt er mir nen Vogel. Von daher fällt das Raus.

Aber ich denke, mit der Taylor Reihe müsste es gehen, wenn ich es irgendwie hin bekomme, die Variablen zu erweitern.
Ich versuchs einfach mal weiter damit.

Vielen Dank schonmal.

MfG

Myself

12.10.2006, 10:05

nitric

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Ich weiß jetzt nicht, ob das hilft:

Habe mich ein paar Jahre mit der Programmierung von Computerspielen beschäftigt, um schnell sin/cos zu berechnen benutzt man dort Tabellen. (Alles andere wäre viel zu Prozessorlastig)
In Spielen wird ausschließlich die Tabelle verwendet (Hohe Nachkommastellen sind unwichtig).

Du könntest jedoch die stellen zwischen den Tabellenpunkten linear Aproximieren?! (Die betreffende Steigung kommt natürlich mit in die Tabelle)

12.10.2006, 10:59

Sunwater

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das hatten wir letztes Jahr in einem Vorbereitungskurs für die Programmiersprache C.
Vielleicht kannst du mit dem Quellcode ja was anfangen.

12.10.2006, 13:50

Lazarus

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Zitat:

Original von Myself112
Ich hab das gerade mal hiermit Probiert:
$\begin{eqnarray*} \sin x = \sum_{K=0}^{\infty} ~ (-1)^k \frac{x^{2k + 1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

Problem ist nur, ich Spreng damit den Rahmen der Speicherkapazität der Größten Variablen unglücklich

unglücklich

(Und das schon beim 22. Schritt)
[...]
MfG

Myself

Im 22ten Schritt ??

Mach doch mal ne Fehlerabschätzung und du wirst sehen dass die Genauigkeit auch von 12 Schritten mehr als Ausreichend ist für die meisten Anwendungen.

12.10.2006, 16:42

Myself112

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Aaaahhhhhh,

mit 15 Schritten funktioniert es.

Vielen Dank nochmal!!!!!!!!

MfG

Myself

12.10.2006, 19:02

Frooke

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Ist zwar ein Detail, aber bei dieser Notation etwas vorsichtig sein:

Zitat:

Original von Lazarus
$\begin{eqnarray*} \exp\left(x\right):=\sum_{n\in\mathbb N}~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Ich hätte das jetzt vielmehr so aufgefasst:

$\begin{eqnarray*} \exp\left(x\right)-1:=\sum_{n\in\mathbb N}~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} \exp\left(x\right):=\sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Aber das kommt eben ganz darauf an, ob man die null bei IN mitzählt oder nicht.

12.10.2006, 22:21

Lazarus

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Ja damit haste Recht, und ich wurde dafür ja schonmal gerügt in dem Thread.

Und weiter muss ich zugeben ich bin mir persönlich noch nicht ganz sicher ob die 0 nun gefühlsmässig zu $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ dazugehört oder nicht. Man liest ja immer was anderes ..

Wir könnten ja mal nen Umfrage starten was die Leute hier fühlen ^^

Aber ich finde schon die 0 gehört dazu, weil dann wenigstens das neutrale Element der Addition da is .. is doch auch wichtig für die Natürlichen Zahlen !
Sonst haben die ja garnix!

12.10.2006, 22:42

Poff

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Sinus berechnen

Winkel ins Bogenmaß, genügend oft halbieren ergibt a'

sinus(a') = a' ansetzen

und nun entsprechend der trigonometrische Vorschrift zur
Berechnung des sinus des doppelten Winkels mehrfach rücktransformieren.

24.10.2006, 11:02

Myself112

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Hi, ich nochmal.

hab noch ein Problem. Im Prinzip das gleiche wie vorher, nur umgekehrt.

Also, mit $\begin{eqnarray*} \exp\left(x\right):=\sum_{n=0}^\infty~\frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ den sinus zu einem Winkel berechnen funktioniert ja, aber wenn ich nun aus dem SInus den Winkel errechnen möchte, habe ich ein Problem. Oder ich hab einfach nen denkfehler in meiner umstellung. Ich hab aus der Formel oben das hier gemacht
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ (2*k+1)\sqrt{ \frac{x*(2*k+1)!}{(-1)^{k}}} \end{eqnarray*}$

Das geht aber nicht, da ich innerhalb dieser Funktion Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen müsste und das macht das System nicht mit.
Hab ich da irgendwo einen Fehler drinnen oder gibts dafür evtl. ne andere Formel? Ich hab schon wie ein irrer im Internet gesucht, aber nix gefunden.

MfG

Myself

24.10.2006, 17:31

AD

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Damit ich dich richtig verstehe: Du hast aus der richtigen Taylorreihe

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} ~ (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

durch "Umstellen" die Reihe

$\begin{eqnarray*} \arcsin(x) \stackrel{???}{=} \sum_{k=0}^{\infty} ~ \sqrt[2k+1]{x\cdot \frac{(2k+1)!}{(-1)^k}} \end{eqnarray*}$

ermittelt? Ich würde sagen, eine Runde schämen für diese algebraische Vergewaltigung! geschockt

geschockt

Nein, es gibt eine eigene Taylorreihe für $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ , die findest du z.B. hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Arcussinus#Reihenentwicklung

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