Differenzierbarkeit/Stetigkeit etc. mal wieder...

Neue Frage »

08.12.2009, 21:46	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit/Stetigkeit etc. mal wieder... Hallo und schönen Abend, es ist Dienstag, mein absoluter Hasstag. Dienstags gibt es immer neue Übungsaufgaben in der Analysis Vorlesung...und jeden Dienstag Abend wiederholt sich das Ritual, dass ich spät Abends vorm PC sitz und keine Ahnung hab was ich tun soll. Hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen. Wir haben einige Funktionen bekommen die wir untersuchen sollen auf: linksseitige Stetigkeit rechtsseitige Stetigkeit Stetigkeit linksseitige Differnzierbarkeit rechtsseitige Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit Ableitung Viele Sachen ich weiss... es geht hier jeweils um die Stelle x=0. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} f_{1}(x)=\left\{ \begin{array}{cc}<br /> \left\|x\right\|^{3}+2x-5 & \textrm{für \ensuremath{x\neq0}}\\<br /> -5 & \textrm{für \ensuremath{x=0}}\end{array}\right. \end{eqnarray}$ Was ich bisher habe (hoffe es ist richtig): Aus den Sätzen zur Stetigkeit aus der Vorlesung folgt, dass $\begin{eqnarray} f_{1}(x) \end{eqnarray}$ in allen $\begin{eqnarray} x\neq0 \end{eqnarray}$ stetig ist. Ich untersuche auf Stetigkeit in x=0 : $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow0}{lim}(\left\|x\right\|^{3}+2x-5)=-5. \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} f_{1} \end{eqnarray}$ in x=0 stetig. Daraus folgt auch die linksseitige sowie die rechtsseitige Stetigkeit. Ich untersuche auf Differenzierbarkeit: $\begin{eqnarray} <br /> \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{(\left\|x_{0}+h\right\|^{3}+2(x_{0}+h)-5)-(\left\|x_{0}\right\|^{3}+2x_{0}-5))}{h}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\left\|x_{0}+h\right\|^{3}-\left\|x_{0}\right\|^{3}+2h}{h}=\frac{\left\|x_{0}+h\right\|^{3}-\left\|x_{0}\right\|^{3}+h}{1}=\frac{0}{1}<br /> \end{eqnarray}$ Edit (mY+): Überlange LaTex-Zeile geteilt Mein Taschenrechner sagt, dass die Funktion differenzierbar ist, also muss die Rechnung falsch sein, ich weiss nur nicht wieso!
08.12.2009, 22:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum du so jammerst, verstehe ich nicht. Denn so übel ist das doch gar nicht, wie du argumentierst. Allerdings bleibt unerfindlich, wo bei deiner Rechnung das Limeszeichen auf einmal geblieben ist und warum im Nenner plötzlich 1 statt h steht. Man sollte im übrigen auch nicht überall einen Limes davor schreiben, sondern den Term erst einmal ohne Limes umformen. Denn ob der Limes existiert, weiß man ja zu Anfang gar nicht. Die definierende Vorschrift der Funktion ist unnötig kompliziert geschrieben. Denn der Wert $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ , der beim Term $\begin{eqnarray} \|x\|^3 + 2x - 5 \end{eqnarray}$ ausgeschlossen wurde, liefert, wenn man ihn in diesen Term einsetzt, genau den bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ vorgesehenen Funktionswert, also $\begin{eqnarray} -5 \end{eqnarray}$ . Ohne irgendeinen Verlust an Information, aber mit einem deutlichen Gewinn an Übersichtlichkeit kann man also $\begin{eqnarray} f_1(x) = \|x\|^3 + 2x - 5 \ \ \mbox{für alle} \ x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ schreiben. Und wie du schon bemerkt hast, ist diese Funktion überall stetig (und somit auch links- und rechtsseitig stetig), da sie sich aus bekannten stetigen Funktionen durch endlich-malige Anwendung der Operationen Addition/Subtraktion und Multiplikation erzeugen läßt. Dasselbe gilt aber auch, wenn du im letzten Satz stetig durch differenzierbar ersetzt. Das einzige, was zu Bedenken Anlaß geben könnte, ist der Bestandteil $\begin{eqnarray} g(x) = \|x\|^3 \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ stimmt $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} -x^3 \end{eqnarray}$ überein. Diese Terme bestimmen aber in diesen Bereichen differenzierbare Funktionen. Damit ist die Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \neq 0 \end{eqnarray}$ gewährleistet. Bleibt die Differenzierbarkeit bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ zu untersuchen. Man kann das z.B. direkt mit dem Differenzenquotienten erledigen: $\begin{eqnarray} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \frac{g(x)}{x} = \frac{\|x\|^3}{x} = \frac{\|x\|^2 \cdot \|x\|}{x} = \frac{x^2 \cdot \|x\|}{x} = x \cdot \|x\| \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auch bei $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ differenzierbar mit $\begin{eqnarray} g'(0) = 0 \end{eqnarray}$ .
09.12.2009, 09:17	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also erstmal woher diese 1 im Nenne kommt(obige Rechnung mit einem zusätzlichen Zwischenschritt): $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{(\left\|x_{0}+h\right\|^{3}+2(x_{0}+h)-5)-(\left\|x_{0}\right\|^{3}+2x_{0}-5))}{h}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\left\|x_{0}+h\right\|^{3}+2x_{0}+2h-5-\left\|x_{0}\right\|^{3}-2x_{0}+5)}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\left\|x_{0}+h\right\|^{3}-\left\|x_{0}\right\|^{3}+2h}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\left\|x_{0}+h\right\|^{3}-\left\|x_{0}\right\|^{3}+h}{1}=\frac{0}{1}=0 \end{eqnarray}$ Für die Vorschrift kann ich nichts ändern, die ist so gegeben obwohl ich die auch für idiotisch halte. Sowas macht ja nur Sinn, wenn man nen Bruch z.B. hat und da den Fall ausschliessen will, dass der Nenner 0 wird. Wieso rechnest du beim Differenzquotienten nur mit $\begin{eqnarray} \frac{\| x\|^3 }{x} \end{eqnarray}$ , muss man dort nicht den kompletten Term einsetzen? Zudem Frage ich mich wie mein Taschenrechner bei der Ableitung auf $\begin{eqnarray} 3x\| x \| +2 \end{eqnarray*}$ kommt, der Schritt zur Ableitungsbestimmung ist doch quasi identisch mit dem für die Differenzierbarkeit...!?
09.12.2009, 11:07	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Leopold hat schon die wichtigen Schritte erläutert, hier im Zusammenhang mit deiner Schreibweise die Rechnung: Du hattest (ohne lim geschrieben): $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\frac{(\left\|x_{0}+h\right\|^{3}+2(x_{0}+h)-5)-(\left\|x_{0}\right\|^{3}+2x_{0}-5))}{h}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\left\|x_{0}+h\right\|^{3}-\left\|x_{0}\right\|^{3}+2h}{h} \end{eqnarray}$ Jetzt geht es um $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} =\frac{\left\|h\right\|^{3}+2h}{h} \end{eqnarray}$ Wenn nun h>0: $\begin{eqnarray} =\frac{h^{3}+2h}{h}=h^{2}+2 \rightarrow 2 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ Wenn h<0: $\begin{eqnarray} =\frac{-h^{3}+2h}{h}=-h^{2}+2 \rightarrow 2 \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ Und damit ist f an der Stelle x_0=0 differenzierbar mit f'(0) = 2 Gruß, Kopfrechner
09.12.2009, 16:33	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
muss man nicht h gegen 0 gehen lassen!? jetzt bin ich etwas verwirrt. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{x_{0}}{(x_{0}+h)x_{0}}-\frac{x_{0}+h}{(x_{0}+h)x_{0}}}{h}=\underset{h\rightarrow0}{lim}\frac{\frac{-h}{(x_{0}+h)x_{0}}}{h}=\frac{-1}{(h+x_{0})x_{0}}=\frac{-1}{x_{0}^{2}} \end{eqnarray}$
09.12.2009, 17:36	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
> muss man nicht h gegen 0 gehen lassen!? Ja sicher. Das habe ich oben gemacht, es aber nicht dazu geschrieben bzw. nicht die (exakte) lim-Schreibweise benutzt, weil mir das aus dem Kontext her klar schien. Hab's etwas editiert. Gruß, Kopfrechner
Anzeige

09.12.2009, 18:02	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber man müsste doch - mal ganz stupide gesagt - für h ne 0 einsetzen und nicht für x?
09.12.2009, 18:21	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zur Untersuchung der Differenzierbarkeit an einer (fest gewählten) Stelle x_0 macht man den Ansatz des Differenzenquotienten in der Version $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} } \end{eqnarray}$ oder der Version $\begin{eqnarray} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} \end{eqnarray}$ und untersucht -nach Vereinfachungen- dessen Grenzwert. Bei deiner Aufgabe ist die interessante Stelle x_0=0, also ersetzt man x_0 durch 0 und erhält (in der h-Variante) den Ausdruck $\begin{eqnarray} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \end{eqnarray}$ Dieser wird für die gegebene Funktion vereinfacht, dann bildet man den Grenzwert für $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Also Ablauf: * Zunächst Stelle x_0 wählen (oder x_0 als fest betrachten) * Differenzenquotient für die Funktion f ansetzen und vereinfachen * lim bilden, d.h. je nach Version $\begin{eqnarray} x \rightarrow x_0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} h \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ Gruß, Kopfrechner
10.12.2009, 14:43	TimTim	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich denke das leuchtet ein, Frage: Das kann ich auch mit der Summenregel berechnen oder? Also: $\begin{eqnarray} \left\|x\right\|^{3}+2x-5=(x^{3})'+(2x)'+(-5)'=3x^{2}+2 \end{eqnarray}$ und hier dann halt für x=0 einsetzen dann kommt man ja auch auf 2! ( Den zweiten Fall vom Betrag hab ich hier weggelassen, kommt das selbbe raus)!

Neue Frage »

Antworten »

Differenzierbarkeit/Stetigkeit etc. mal wieder...

Verwandte Themen