Einseitigen Grenzwert berechnen

08.12.2009, 22:03

Jojo2000

Einseitigen Grenzwert berechnen

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zum Berechnen des einseitigen Grenzwertes. Wie genau kann man diesen ausrechnen? Kann ich das z.b. folgendermaßen machen?

Indem ich den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 1} \log{x} \cdot \log(1-x) \end{eqnarray*}$

umschreibe zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \log{(1-\frac{1}{x})} \cdot \log(1-(1-\frac{1}{x})) \end{eqnarray*}$

Und beim rechtsseitigen Grenzwert würde ich dementsprechend die Nullfolge addieren und nicht subtrahieren. Wäre das so machbar?
Falls das so möglich ist, komme ich damit nicht weiter. Meine Vorgehensweise:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \log{(1-\frac{1}{x})} \cdot \log(1-(1-\frac{1}{x})) = \lim_{x \to \infty} \frac{\log{(1-\frac{1}{x})}}{\frac{1}{\log(1-(1-\frac{1}{x}))}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log{(1-\frac{1}{x})}}{\frac{1}{\log(\frac{1}{x}))}} \end{eqnarray*}$

Dann versuche ich mit dem L'Hospital abzuleiten und so weiterzukommen, aber der Nenner ergibt immer wieder einen undefinierten Ausdruck.
Wo liegt mein Fehler?
Danke!

Jojo

08.12.2009, 22:12

Abakus

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RE: Einseitigen Grenzwert berechnen
Hallo!

Zitat:

Original von Jojo2000
Indem ich den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 1} \log{x} \cdot \log(1-x) \end{eqnarray*}$

umschreibe zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \log{(1-\frac{1}{x})} \cdot \log(1-(1-\frac{1}{n})) \end{eqnarray*}$

Wie geht das? Du hast einmal ein x und ein n und weiter oben nur das x?

Grüße Abakus smile

08.12.2009, 22:14

Jojo2000

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Ups, ist korrigiert! :-)

08.12.2009, 22:23

Abakus

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RE: Einseitigen Grenzwert berechnen

Zitat:

Kannst du begründen, wieso das dasselbe sein soll?

Grüße Abakus smile

08.12.2009, 22:28

Jojo2000

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Ja meine Idee dahinter ist die folgende.
Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 1} \log{x} \cdot \log(1-x) \end{eqnarray*}$ nähere ich mich "von unten" der 1 immer weiter an.

Bei dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \log{(1-\frac{1}{x})} \cdot \log(1-(1-\frac{1}{x})) \end{eqnarray*}$ versuche ich das "von unten Annähern" dadurch zu erreichen, dass ich x gegen unendlich laufen lasse und mittels einer Nullfolge, die ich von 1 abziehe "nahe von unten" an die 1 heranzukommen.

08.12.2009, 22:29

Abakus

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Na gut. Aber wieso sollten die Grenzwerte dieselben sein?

Grüße Abakus smile

08.12.2009, 22:37

Jojo2000

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Weil da meiner Meinung nach zwei äquivalente Ausdrücke stehen...
Ist das nicht so? Wie würde man denn einen einseitigen Grenzwert normalerweise berechnen?

08.12.2009, 22:56

Abakus

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Zitat:

Original von Jojo2000
Weil da meiner Meinung nach zwei äquivalente Ausdrücke stehen...
Ist das nicht so?

Zumindest ist es nicht unmittelbar klar, dass das so ist. Du müsstest es exakt begründen.

Zitat:

Wie würde man denn einen einseitigen Grenzwert normalerweise berechnen?

Hier würde ich an die Regeln von de l'Hospital denken:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \uparrow 1} \log{x} \cdot \log(1-x) = \lim_{x \uparrow 1} \frac{\log{x}}{\frac{1}{\log(1-x)}} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

08.12.2009, 23:06

Jojo2000

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Zitat:

Original von Abakus
Hier würde ich an die Regeln von de l'Hospital denken:

Aber wo genau liegt der Unterschied bei der Berechnung eines einseitigen und eines beidseitigen Grenzwerts?

08.12.2009, 23:08

Abakus

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Zitat:

Original von Jojo2000
Aber wo genau liegt der Unterschied bei der Berechnung eines einseitigen und eines beidseitigen Grenzwerts?

Von der anderen Seite kannst du dich in diesem Fall nicht annähern, da wäre der ln nicht definiert.

Grüße Abakus smile