Banach'scher Fixpunktsatz

08.12.2009, 22:31	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Banach'scher Fixpunktsatz Hallo, ich soll für die Funktion $\begin{eqnarray} g(x)=1-x^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} D=[0,1] \end{eqnarray}$ überprüfen, ob sie einen Fixpunkt besitzt oder nicht - anhand der Voraussetzungen des Banach'schen Fixpunktsatzes. Ich habe zuerst mal versucht, eine Kontraktion auf g nachzuweisen: zu zeigen: Es existiert ein q, so dass gilt: $\begin{eqnarray} \frac{d(g(x),g(y))}{d(x,y)}\leq q, \quad q \in (0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|1-x^2-(1-y^2)\|}{\|x-y\|}=\frac{\|y^2-x^2\|}{\|x-y\|}=\frac{\|(y-x)\cdot(y+x)\|}{\|x-y\|}=\frac{\|(y-x)\|\cdot\|(y+x)\|}{\|x-y\|}=\|y+x\| \end{eqnarray}$ Also erstens: Ich komme da oben nicht mehr weiter, da ich ein q finden müsste, welches echt kleiner als 1 ist und echt grösser als 0, aber ich bei \|x+y\| stecken bleibe, was ja sogar groesser als 1 sein könnte.... und zweitens: WAS muss ich denn genau überprüfen? Reicht es, nur die Kontraktion nachzuprüfen und wäre ich dann schon fertig, falls ich gezeigt hätte, dass g eine Kontraktion ist?? Vielen Dank im Voraus und beste Grüße, Thorsten
08.12.2009, 23:15	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Banach'scher Fixpunktsatz Willst du vllt in "Hochschulforum-Abteilung" des Forums?^^
09.12.2009, 13:49	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hast Recht. Wie kann ich das nun verschieben??
10.12.2009, 00:38	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
g ist stetig und differenzierbar. Damit zeigt man schnell die Selbstabbildung. Für die Kontraktion musst du die Abeitung abschätzen. Damit findest du die "gesuchte" Konstante. Die Funktion ist auf diesem Intervall aber "zu steil". Banach klappt nicht, dennoch hat die Funktion einen Fixpunkt. Das folgt aber aus dem Zwischenwertsatz.
10.12.2009, 10:30	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tigerbine, danke, dass du mal Licht ins Dunkel gebracht hast. Mein Problem war, dass ich glaubte, dass jede Funktion, die einen Fixpunkt besitzt auch die Voraussetzungen des Banach'schen FIxpunktsatzes erfüllen muss. Aber nun habe ich begriffen, dass es nicht so sein muss. Gruß, Thorsten

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