Ableitung von Funktion mit x im Exponent bestimmen

08.12.2009, 22:58	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von Funktion mit x im Exponent bestimmen Hallo, ich möchte die Ableitung von folgender Funktion bestimmen $\begin{eqnarray} f(x)= 7^{3x+2}-3 \end{eqnarray}$ Ich kann die Funktion ja umformen zu $\begin{eqnarray} f(x)= 7^{3x} \cdot 7^2 -3 = 49 \cdot 7^{3x}-3 \end{eqnarray}$ Wenn ich die Funktion jetzt ableite, bleibt in der Ableitung ja der Faktor 49 stehen und die -3 verschwindet, weil sie nur durch ein Minus verknüpft ist. Ich habe aber Probleme den Term $\begin{eqnarray} 7^{3x} \end{eqnarray}$ abzuleiten. Dabei stört mich die 3. Wenn der Term nur $\begin{eqnarray} 7^x \end{eqnarray}$ heißen würde, könnte ich ja den Trick anwenden, den Term so umzuschreiben: $\begin{eqnarray} f(x)=7^x= e^{ln{7^x}}=e^{x \cdot ln 7} \end{eqnarray}$ Die letzte Umformung gilt ja laut den Potenzgesetzen. Dann gilt $\begin{eqnarray} f'(x)= e^{x\cdot ln7} \cdot ln 7 = 7^x \cdot ln 7 \end{eqnarray}$ Aber wie bekomme ich den Faktor 3 in der Hochzahl mit in die Ableitung? Irgenwie komme ich nicht drauf, wie ich das machen muss... Also wie kann ich $\begin{eqnarray} f(x)= 7^{3x} \end{eqnarray}$ ableiten? Gruß, Duude
08.12.2009, 23:12	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von Funktion mit x im Exponent bestimmen $\begin{eqnarray} 7^{3x} = (7^{x} )^3 \end{eqnarray}$
08.12.2009, 23:45	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt. Das sagt das Potenzgesetz. Aber ich komme noch nicht drauf, wie ich das jetzt ableiten kann. Also ich kann jetzt das in der Klammer ableiten. Das ist klar. Aber was passiert mit der hoch 3? Die muss ich ja auch irgenwie beachten, weil sie ja eigentlich besagt, dass ich den Term 3 mal malnehme...
08.12.2009, 23:51	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
3 ist genau so, wie ln(7) eine gewöhnliche Zahl, mit 3 passiert genau dasselbe, was mit ln(7) passiert. Überlege dir: du könnst sogar 3ln(7) ausrechnen und dann als eine Zahl schreiben und weiter machen. $\begin{eqnarray} 7^{3x} = (7^{x} )^3 = (e^{x\ln(7)})^3=e^{x(\ln(7)\cdot3)} \end{eqnarray*}$
08.12.2009, 23:56	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mit $\begin{eqnarray} f(x)= 7^{3x}=(7^x)^3= (e^{x\cdot ln7})^3 \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt sagen, dass dann gilt $\begin{eqnarray} f(x)= (e^{x\cdot ln7\cdot 3}) \end{eqnarray}$ ? Dann könnte ich es ableiten. Dann wäre $\begin{eqnarray} f'(x)= (e^{x\cdot lnx\cdot 3}) \cdot ln 7 \cdot 3 =7^{3x} \cdot 3 \cdot ln 7 \end{eqnarray}$ . Hast du das so gemeint?
08.12.2009, 23:59	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau.
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09.12.2009, 00:04	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, super Vielen Dank für die Hilfe. Dann ist die Ableitung von meiner Anfangsfunktion $\begin{eqnarray} f'(x)= 49 \cdot 7^{3x} \cdot 3 \cdot ln 7 \end{eqnarray}$ Und das ist ungefähr gleich $\begin{eqnarray} 286,04... \cdot7^{3x} \end{eqnarray}$ Habs verstanden...

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