Arithmetische und geometrische Summen

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Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetische und geometrische Summen
Hallo,

hab hier mal ein paar Aufgaben gerechnet und bevor ich noch verkehrt damit weitermache, wäre das toll, wenn da mal jemand drübergucken würde. Wahrscheinlich hab ich sowieso sämtliche Regeln missachtet aber naja Augenzwinkern

Also, die erste Aufgabe war:

Schreiben Sie alle Summen explizit auf (alle Summanden):

a) - ich meinte 2 hoch in Klammern i+1

b)

c) ()+ 2

Meine Lösungen sind:

a) 2²+2³+

b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2

c) 2 + 2 + 2

Und dann gab's noch eine Aufgabe, da sollte man die Summen ganz ausrechnen:

a) - Die 10 gehört über das Summenzeichen, hab das nicht hingekriegt....

Da hab ich dann so gerechnet:

-
= -
=
= 0,002

Ich hoffe, ich habe nicht allzu viel Mist gerechnet und ihr könnt mir etwas weiterhelfenAugenzwinkern Danke!

EDIT: Latex korrigiert (klarsoweit)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetische und geometrische Summen
Zitat:
Original von Bloomy
b)

Meine Lösungen sind:

b) 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Wenn du ) meintest, stimmt deine Lösung nicht.

Zitat:
Original von Bloomy
c) ()+ 2

Meine Lösungen sind:

c) 2 + 2 + 2

Wenn du meintest, dann stimmt deine Lösung nicht.

Zitat:
Original von Bloomy
Da hab ich dann so gerechnet:

-

Der obere Index der 2. Summe stimmt nicht. Es empfiehlt sich auch, um den Bruch eine Klammer zu setzen.

Desweiteren ist ist nicht
Setze beispielsweise n=0 Augenzwinkern
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Mhm! Ja, das meinte ich! Wie ist denn die richtige Rechenregel dafür? Die kenne ich nämlich leider nicht.
Ist das dann einfach 3/4 + 3/5 + 1/3 +2, dass ich die 2 einfach hinten dranhänge?

Zitat:
Der obere Index der 2. Summe stimmt nicht.


Ich dachte, ich bekomme den 2. Index raus, indem ich n-i rechne....So sah das jedenfalls in einer meiner Beispielaufgaben aus, wo ich das abgeschrieben habe Augenzwinkern .

Ich hab die Aufgaben bis jetzt nur mit "hoch i" gesehen und nicht mit "hoch i minus 1". Wenn nur i dort stände, müsste da doch 1- (1/3)^11 hin oder? Aber wie ist das jetzt?

Sorry, bin verwirrtsmile Ist überhaupt irgendeine meiner Aufgaben richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Aufgabe a). Augenzwinkern

Setz bei c) doch mal die Indizes 3, 4 und 5 nacheinander ein. Was bekommst du dann für Ausdrücke? Die +2 wird dann an die Summe nur noch drangehängt.

Bei der letzten Aufgabe summierst du Indizes von 4 bis 10. Wenn du ab i=0 summieren willst, mußt du die Summanden zu den Indizes 0 bis 3 wieder abziehen. Wegen dem "i-1" im Exponent wäre es aber besser, ab Index 1 zu summieren.
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

c) ist dann doch



Richtig?

Und

b) 2 1/2 + 2 2/3 + 2 3/4 + 2 4/5 + 2 5/6

Ich glaub, ich hab's nun verstanden. Ich wusste nicht, dass man für i die Zahlen von 1-5 einsetzen muss und dachte, dass i im Zähler bleibt immer gleich. Mich hat das i=1 unter dem Summenzeichen verwirrt.

Die letzte Aufgabe schaue ich mir gleich nochmal genauer an.

Danke smile
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der letzten Aufgabe verstehe ich nicht, warum ich die Indizes von 4 bis 10 summieren soll. Das wären ja dann 6 Stück und ich soll doch nur i=4 summieren. daher dachte ich, ich könnte erst von 0 bis 10 summieren und dann von 0 bis 6 die wieder abziehen. dann hätte ich doch auch 4. Mhm...
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetische und geometrische Summen
Da hast du das Summenzeichen noch nicht ganz verstanden.

bedeutet, daß du in dem Summenterm für die Variable i nacheinander die natürlichen Zahlen von 4 bis 10 einsetzst und dann die entstanden Terme aufsummierst. Das sind also insgesamt 7 Summanden.

Tipp: da das "-1" im Exponenten stört, kannst du eine Indexverschiebung machen. Dabei verringest du die Indexgrenzen der Summe um 1 und erhöhst gleichzeitig die Indexvariable i um 1.
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist dann die Zahl über der Summe 9 und i=5?

Kann ich das nicht auch ohne Verschiebung rechnen? Finde das grad irgendwie weniger verwirrend...

Also, ich hab da jetzt stehen:

-

Ich würde jetzt so weiter machen wie am Anfang.

Du hast gesagt,

ist nicht gleich

Ich weiß, dass

ist nicht gleich

Aber wenn ich doch jetzt z.B. die 10, die über der Summe steht für i einsetze, dann hab ich doch 10-1+1=10, weil ich ja die 1 noch dazu addieren muss.

Oder ist das so, dass n=i-1 und somit n=9 ist?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bloomy
Also ist dann die Zahl über der Summe 9 und i=5?

Nein. Bei der Indexverschiebung wäre die obere Grenze 9, die untere Grenze 3 und dafür würde die "-1" im Exponenten vom Summenterm verschwinden. "... und i=5" ist eh Quatsch, da i der Laufindex ist. Die Angabe "i=hugo" unter dem Summenzeichen besagt 2 Dinge:
1. i ist der Laufindex
2. Der Startwert von dem Laufindex ist die Zahl "hugo".

Zitat:
Original von Bloomy
Kann ich das nicht auch ohne Verschiebung rechnen? Finde das grad irgendwie weniger verwirrend...

Schade eigentlich. Gerade das würde die Verwirrung verringern.

Zitat:
Original von Bloomy
Ich weiß, dass

ist nicht gleich

Aber wenn ich doch jetzt z.B. die 10, die über der Summe steht für i einsetze, dann hab ich doch 10-1+1=10, weil ich ja die 1 noch dazu addieren muss.

Oder ist das so, dass n=i-1 und somit n=9 ist?

Das ist einfach nur chaotisch. Wenn du deine Summe mit vergleichst, dann ist n=10. Aber was nützt dir das? Auf kannst du nicht die Formel für die geometrische Reihe anwenden, jedenfalls nicht sofort. Die Formel für die geometrische Reihe lautet:



Und wenn du das mit deiner Summe vergleichst, dann stört einfach das "-1" im Exponenten. Da du die Indexverschiebung nicht wolltest, mußt du jetzt eine kleine Umformung vornehmen.

Das "hugo" darfst du rausfinden. Augenzwinkern

PS: Wo macht man solche Aufgaben?
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mal eine "kleine" Mathepause eingelegt in der Hoffnung, dass mich das schlauer macht^^. Solche Aufgaben macht man übrigens, wenn man Biotechnologie studiert Augenzwinkern

Also, hugo ist =3

Mhm...mal ne doofe Frage: Irgendwer hat behauptet, man muss das nicht mit dieser Formel für die geometrische Reihe machen, sondern kann einfach die Zahlen von 4 bis 10 in i einsetzen. Stimmt das? Ich denke einfach mal nein, sonst müsste man das ja nicht so kompliziert rechnensmile

Naja, dann hab ich jetzt die Summe:



Muss ich das jetzt irgendwie in die geometrische Reihe einsetzen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bloomy
Also, hugo ist =3

OK.

Zitat:
Original von Bloomy
Mhm...mal ne doofe Frage: Irgendwer hat behauptet, man muss das nicht mit dieser Formel für die geometrische Reihe machen, sondern kann einfach die Zahlen von 4 bis 10 in i einsetzen. Stimmt das? Ich denke einfach mal nein, sonst müsste man das ja nicht so kompliziert rechnensmile

Natürlich kann man jeden einzelnen Summanden ausrechnen und dann die Summe bilden. Viel Spaß dabei, vor allem, wenn die obere Grenze 100 oder noch mehr ist. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Bloomy
Naja, dann hab ich jetzt die Summe:



Muss ich das jetzt irgendwie in die geometrische Reihe einsetzen?

Mit ein paar Klammern sieht das ganze noch schöner aus. Außerdem haben wir i als Laufindex:


Und die 3 ziehen wir noch vor die Summe:


Bevor wir jetzt die geometrische Reihe darauf loslassen, müssen wir erstmal prüfen, ob die Formel für die geometrische Reihe (siehe meinen Beitrag oben) haargenau paßt. Und leider gibt es da noch eine Abweichung: bei der geometrischen Reihe ist der Startindex i=0 und wir haben da i=4. Wenn wir bei i=0 anfangen, haben wir die Summanden i=0 bis i=3 zuviel drin. Die müssen wir wieder abziehen. Also:


Und jetzt kannst du die Formel für die geometrische Reihe anwenden.
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich glaub, ich hab's geschafft.

Hier ist meine Lösung:

3* ( - ) =3*( 1,49999 - 1,481) = 0,056

Hab mich auch mal an einer anderen Aufgabe versucht!

= - = - ) =2,999 -2,95 = 0,049

Stimmt das so?

Hab jetzt hier noch eine Aufgabe, da weiß ich nicht so wirklich weiter:



Also, ich weiß jetzt nicht, was ich mit dem k machen soll, was unten steht. Kann man da überhaupt die geometrische Reihe drauf anwenden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bloomy
= - = - ) =2,999 -2,95 = 0,049

Das andere ist ok (habe aber nicht die expliziten Zahlen nachgerechnet). Bei diesem hat sich irgendwie ein 2/3 eingeschlichen.

Ziehe bei der nächsten Aufgabe die Summe auseinander:


Jetzt hast du da eine geometrische und eine arithmetische Reihe.
Bloomy Auf diesen Beitrag antworten »

Ups...Ja, hatte die Zahlen nur falsch abgeschrieben!

Super, jetzt hab ich's verstanden! Vielen, vielen Dank!!!
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