Abstand Punkt - Gerade mit hessescher Normalform? |
| 09.12.2009, 12:04 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abstand Punkt - Gerade mit hessescher Normalform? Ich dachte doch, man kann mittels hessescher Normalform den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder einer Gerade ausrechnen. Ich habe den Punkt P=(2,6,12) und die Normalendarstellung der Geraden 3x+4y-5 = 0. Diese habe ich nun normiert -> 3/5x+4/5y-1=d nun habe ich für x=2 eingesetzt und für y=5 eingesetzt -> d=5 Was ist nun daran falsch? Laut Lösung sollte es 13 geben und wurde aufwändig mit Vektorprodukt berechnet. In einer andere Aufgabe wurde aber auch diese Methode verwendet, um die Tangenten an eine Kugel, welche parallel zu einer bestimmten Gerade sind, zu finden und da hat's geklappt. |
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| 09.12.2009, 14:44 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie soll das klappen, wenn du einen dreidimensionalen Punkt in eine zweidimensionale Gerade einsetzt? Überprüfe die Angabe! Wo spielt sich das ab, in R3 oder in R2? In R3 wird die Geradengleichung sinnvoll nur in Parameterdarstellung geschrieben. Ansonsten ist's (mit drei Koordinaten) die Normalform einer Ebene. mY+ |
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| 09.12.2009, 14:47 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
wieso ist die gerade 2-dimensional? ein vektor [3;5;0] ist doch auch 3-dimensional. einfach die 3. komponente ist 0...? was meinst du mit R2 oder R3? die angaben wie geschrieben waren in der aufgabenstellung so gegeben... |
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| 09.12.2009, 14:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
3x + 4y - 5 = 0 ist die Gleichung einer Geraden in R2. R2 ist der x-y Raum, R3 bezieht sich auf x, y, z. Falls sich alles in R3 abspielt (deswegen habe ich ja gefragt), ist 3x - 4y - 5 = 0 nicht die Gleichung einer Geraden, sondern die einer Ebene (auch das habe ich dir ja oben schon erklärt!). Infolge des Fehlens von z hat diese Ebene eine besondere Lage. Der Punkt (2; 6; 12) hat von dieser Ebene dann den berechneten Abstand von 5 LE. Möglicherweise hast du schon die Ebene falsch berechnet (oder doch nicht die ganze Aufgabe, sondern nur einen Teil davon) gepostet? mY+ |
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| 09.12.2009, 15:10 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo. Dnke für die Antwort! Hier die Antwort eins zu eins kopiert: Berechne den Abstand des Punktes P = (2; 6; 12) von der Geraden 3x+4y-5 = 0 der Grundebene. edit: achso sehe ich das demfall richtig, dass ich von p einfach die falschen koordinaten verwendet und eingesetzt habe? |
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| 09.12.2009, 16:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, so ist das auch nicht. Der Abstand 5 ist schon richtig, nur ist er in diesem Fall der Abstand der Projektion P' des Punktes P auf die x-y - Ebene (P' = Grundriß von P). Der gesuchte Abstand von P zur Geraden ist jedoch ein räumlicher Normalabstand. Er liegt in der zu g normalen Ebene durch P. Daher erscheint er als Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreieckes mit den Seiten 5 und der z-Koordinate des Punktes P. Du siehst: Wieder einmal war eine unvollständige Angabe schuld an dem anfänglichen Mißverständnis. Wie berechnet sich nun dieser Abstand? mY+ |
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| 09.12.2009, 18:38 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Ja das kann ich nicht so auf die schnelle sagen. Habe die Lösungen, und muss diese mal studieren und muss mal überlegen, wie/ob ich das mit meinem Ansatz auch lösen kann. Werde mich dann wieder melden... |
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| 09.12.2009, 20:21 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also eigentlich habe ich dir doch ohnehin alles gesagt, offenbar konntest du das nicht richtig interpretieren (lies das bitte nochmals ganz genau). 
So kommst du sofort auf die angegebene Lösung!mY+ |
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| 09.12.2009, 21:09 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
hallo habs zwar gelesen aber noch keine zeit gehabt, zu überlegen. muss ja noch andere aufgaben lösen 
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| 09.12.2009, 23:54 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
OK, kein Problem, ich hab' ja hier auch noch andere Fragen zu beantworten! mY+ |
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| 10.12.2009, 09:42 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
hallo habe mir das ganze nun nochmals durchgelesen, überlegt und aufgezeichnet. dann geht das ganze auch auf und ich konnte mir auch das dreieck mit dem abstand 5 in der grundebene und der höhe 12 einzeichnen. ich dachte aber, bei der gleichung 3x + 4y - 5 = 0 sei der vektor [3;4] der normalenvektor zu gerade? bei der ebene wär's ja so, dann wäre der normalenvektor der ebene in der xy-ebene, die ebene selbst aber in allen ebenen. |
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| 10.12.2009, 12:11 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
In R2 ist (3; 4) der Normalvektor der in der x-y - Ebene liegenden Geraden 3x + 4y = 5. Das Ganze spielt sich aber in R3 ab, daher darfst du das nicht durcheinanderbringen. In R3 gibt es zu dieser Geraden unendlich viele Normalvektoren, sie liegen alle in einer zu der Geraden senkrechten Ebene. Einer von diesen ist auch der Vektor (3; 4; 0). Die Gleichung 3x + 4y = 5 bezeichnet in R3, wie schon darauf hingewiesen, eine Ebene (3x + 4y + 0z = 5), deren Normalvektor ist demnach (3; 4; 0). mY+ |
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| 10.12.2009, 13:19 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Hatte heute wieder LinAlg und einmal noch nachgefragt. Habe jetzt endlich verstanden (oder meine das zumindest), dass [3;4] zwar der Normalvektor der Geraden ist, diese aber ebenfalls in der xy-Ebene liegt und nicht in der xyz-Ebene. Dann kann ich mir das auch endlich vorstellen und graphisch erklären und aufzeichnen. Dann wäre die eig. Gerade in der xy-Ebene +/- [-4;3]...? und von dieser hat der Punkt den Abstand 13... |
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| 10.12.2009, 18:41 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es wäre gut, würde man sich bei dieser Aufgabe immer auf den R3 beziehen, denn es läuft alles dreidimensional ab, auch wenn zufällig die Gerade in der x-y - Ebene "klebt". Somit ist der Richtungsvektor der Geraden (-4; 3; 0). Und der Abstand des Punktes P von der Geraden ist tatsächlich 13. mY+ |
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| 11.12.2009, 07:57 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja dann wäre bei der gleichung ja, wie ich gesagt habe, die z-komponente 0. dann kan man im prinzip sagen: gesucht ist der abstand von p zu der schnittgeraden der entsprechenden ebene mit der grundfläche...? |
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| 11.12.2009, 20:23 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das kann man so sagen. 
mY+ |
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| 11.12.2009, 21:26 | Fix | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke für die hilfe und klärung
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