Körper mit 4 bzw. 16 Elementen

09.12.2009, 12:04	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit 4 bzw. 16 Elementen Hallo, ich mal wieder. ich sitze hier vor zwei Aufgaben: Erstens: Sei $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 = \mathbb{Z}/(2) = \{0, 1\} \end{eqnarray}$ der Körper mit zwei Elementen und $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2[X] \end{eqnarray}$ der Polynomring in einer Unbestimmten über $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ . Sie $\begin{eqnarray} g:=X^2+X+1 \in\mathbb{F}_2[X] \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4:=\mathbb{F}_2[X]/(g)=\{\bar0 ,\bar1,\bar{X},\bar{X+1}\} \end{eqnarray}$ Die rechte Inklusion ist trivial. Doch die andere richtung ist mir nicht klar. Zweitens: Sei $\begin{eqnarray} F:=\mathbb{F}_2[X]/(f) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f=X^4+X+1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ein Körper mit 16 Elementen ist. Im Grunde muss ich hier doch nichts anderes als oben machen, oder? Grüße, Schmouk
09.12.2009, 13:32	Tobias_Meyer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4:=\mathbb{F}_2[X]/(g)=\mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1) \end{eqnarray}$ ist der Körper mit vier Elementen - davon gibt es bis auf Isomorphie nur einen. Die Begründung, dass es ein Körper ist, lautet: Das Polynom $\begin{eqnarray} g \in \mathbb{F}_2[X] \end{eqnarray}$ ist irreduzibel, da gilt: $\begin{eqnarray} g(0)=1, \ g(1)=1 \text{ in } \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ , somit hat das Polynom keine Nullstellen und da es vom Grad 2 ist, ist es irreduzibel. Da ein Polynomring über einem Körper (also hier: $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ ) faktoriell ist, ist $\begin{eqnarray} g \in \mathbb{F}_2[X] \end{eqnarray}$ nicht nur irreduzibel, sondern auch prim. Das heisst, dass $\begin{eqnarray} (g) \end{eqnarray}$ ein Primideal ist und da Primideale in Hauptidealringen maximal sind, ist $\begin{eqnarray} (g) \end{eqnarray}$ sogar ein Maximalideal. Daraus folgt schließlich, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1) \end{eqnarray}$ ein Körper ist. Wenn du wissen willst, wie man auf die einzelnen Restklassen kommt, dann musst du nur ein wenig umformen, z. B. gilt für $\begin{eqnarray} X^2 \in \mathbb F_2[X] \end{eqnarray}$ , dass das in $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1) \end{eqnarray}$ nichts anderes ist als die Restklasse $\begin{eqnarray} \bar {X+1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^2+X \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb F_2[X] \end{eqnarray}$ ist genau die Restklasse $\begin{eqnarray} \bar 1 \in \mathbb F_2[X]/(X^2+X+1) \end{eqnarray}$ . Um nun zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_4:=\mathbb{F}_2[X]/(g)=\{\bar0 ,\bar1,\bar{X},\bar{X+1}\} \end{eqnarray}$ gilt, betrachte $\begin{eqnarray} \mathbb F_4\cong \{0,1,a,b\} \text{ mit } 0:=\bar 0,\ 1:=\bar 1, \ a:=\bar X,\ b:=\bar {X+1} \end{eqnarray}$ und prüfe z. B. mit einer Multiplikationstabelle, die die Elemente $\begin{eqnarray} \{0,1,a,b\} \end{eqnarray}$ enthält, nach, dass die Verknüpfungen wohldefiniert sind und alle Körperaxiome erfüllt sind, z. B. muss gelten: $\begin{eqnarray} a\cdot a=b,\ b\cdot b=a, \ a\cdot b = b\cdot a=1 \text{ usw. } \end{eqnarray}$ Das ist übrigens eine gute Aufgabe, um die Strukturen von Körpern zu verinnerlichen. Körper sind ja im Grunde nicht so komplizierte Objekte wie Ringe und in Körpern zu rechnen ist daher im Allgemeinen auch einfacher. Was du bei dieser Aufgabe mitnehmen sollst, ist die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2[X]/(X^2+X+1) \end{eqnarray}$ bis auf Isomorphie der gleiche Körper ist wie der altbekannte Restklassenkörper $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 4 \mathbb Z \end{eqnarray}$ . Im Übrigen - was man bei dieser Aufgabe noch schön sehen kann, ist, dass für die Einheiten gilt: $\begin{eqnarray} \mathbb F^\times _4=\{1,a,b\} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} b=a^2 \text{ und } a \cdot b =a^3=1 \end{eqnarray}$ folgt somit: $\begin{eqnarray} \mathbb F_4^ \times = <a> \end{eqnarray}$ , was sogar für alle denkbare Körper gilt, d.h. falls K ein endlicher Körper ist, dann ist die Einheitengruppe von K zyklisch, was man natürlich auch beweisen kann. Du kannst es zur Übung mal versuchen. Bei der zweiten Aufgabe bedenke, dass bei einer Körpererweiterung $\begin{eqnarray} L\|K \end{eqnarray}$ der Körper $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} K- \end{eqnarray}$ Vektorraum aufgefasst werden kann und 4 ist der Grad des Minimalpolynoms. Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray} 2^4=16 \end{eqnarray}$ . Ich hoffe, dass du einen Zusammenhang erkennen kannst. Viele Grüße, Tobias

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