Geometrische Reihen

09.12.2009, 14:45

Katrin_23

Geometrische Reihen

Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} a_{0}\in \mathbb R >0 \end{eqnarray*}$ .
Es werden rekursiv Dreiecke definiert $\begin{eqnarray*} A_{n}, n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} A_{0} \end{eqnarray*}$ : gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ : gleichseitiges Dreieck, dessen Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ stimmt mit der Höhe $\begin{eqnarray*} h_{n} \end{eqnarray*}$ des Dreiecks $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ überein, n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} u_{n} \end{eqnarray*}$ : Umfang des Dreieckes $\begin{eqnarray*} A_{n}, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ : Flächeninhalt

Zuerst soll ich die Formeln für $\begin{eqnarray*} u_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ angeben.
Dann soll ich noch begründen, warum die Reihen $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty u_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty f_{n} \end{eqnarray*}$ konvergieren und ihre Werte bestimmen.

Habe mir überlegt, dass die Formeln für gleichseitige Dreiecke $\begin{eqnarray*} u= 3*a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f= (a^2*\sqrt{3})/4 \end{eqnarray*}$ sind .

Ist denn $\begin{eqnarray*} u_{n}=3* a_{n} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} A_{n}= (a_{n}^2*\sqrt{3})/4 \end{eqnarray*}$ .
Das wär ja aber viel zu einfach...

Danke schon mal.

09.12.2009, 15:08

mYthos

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Bisher stimmt alles, und noch ist es auch einfach, aber du bist erst am Anfang.
Es fehlen jetzt die entsprechenden Werte für das Dreieck $\begin{eqnarray*} A_{n+1} \end{eqnarray*}$ , die Quotienten für die Umfänge und Flächen und die Beantwortung der Frage, weshalb (bei unendlich vielen Summanden) eine endliche Reihensumme vorliegt.

mY+

09.12.2009, 15:46

Katrin_23

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Ich meinte oben, anstatt $\begin{eqnarray*} A_{n}= (a_{n}^2*\sqrt{3})/4 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} : f_{n}= (a_{n}^2*\sqrt{3})/4 \end{eqnarray*}$ .
Hatte mich verschrieben.
Aber für das Dreieck An+1 gilt doch dann:
$\begin{eqnarray*} f_{n+1}= (a_{n+1}^2*\sqrt{3})/4 \end{eqnarray*}$
oder auch: $\begin{eqnarray*} f_{n+1}= (h_{n}^2*\sqrt{3})/4 \end{eqnarray*}$
oder auch: $\begin{eqnarray*} f_{n+1}= (0,5*a_{0}^2*\sqrt{3})/4 \end{eqnarray*}$
Und für $\begin{eqnarray*} u_{n+1}= 3*a_{n+1}= 3*h_{n}= 1,5*a_{0} \end{eqnarray*}$

Das sind doch dann die Werte für An+1.
Aber welche anderen Quotienten sind gemeint?
Ich meine, ist die 1. Teilaufgabe dann nicht schon abgeschlossen gewesen?

09.12.2009, 15:52

Katrin_23

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bei fn+1 die 2.zeile muss das quadrat bei a0 noch weg

09.12.2009, 16:01

mYthos

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Die Höhe in einem gleichseitigen Dreieck ist nicht $\begin{eqnarray*} \frac a 2 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \frac a 2 \sqrt3 \end{eqnarray*}$ . Und beim Quadrieren musst du ALLE Faktoren quadrieren, somit muss der Quotient der Flächen $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ sein.

EDIT: Aha, deine Korrektur zeigt, dass du die Klammer noch nicht quadriert hast. Dann stimmt die Höhe. Was machen aber dann dabei die Viertel? Bei den Flächen musst du die Klammer danach quadrieren ...

Unter dem Quotient der Reihe ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder der Reihe zu verstehen. Dieser ist bei den Umfängen und bei den Flächen verschieden!

Bei den Fächen:

$\begin{eqnarray*} q_A = \frac{A_{n+1}}{A_n} \end{eqnarray*}$

Diesen Quotienten brauchst du bei der Berechnung der Reihensumme.

mY+

09.12.2009, 17:43

Katrin_23

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So, vergessen wir den Quatsch, den ich vorher geschrieben hatte.
Hatte mich beim Ausrechnen der Höhe vertan. Hab nun auch :
$\begin{eqnarray*} h_{n} = (\sqrt{3} *a_{n})/2 \end{eqnarray*}$ raus.
Mein Zettel war ziemlich durcheinander und da habe ich mich auch bei den Indizes usw. vertan.
Gut, ich habe auch beim Quotienten der Flächen 3/4 rausbekommen.
Und der Betrag ist <1,d.h. die Reihe konvergiert absolut, also konvergiert die Reihe. Kann man die GW- Bestimmung dann irgenwie so machen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (3/4)^k = 3* \sum\limits_{k=0}^\infty (1/4)^k \end{eqnarray*}$
Das ist ja die geometrische Reihe und weil der Betrag <1 ist ,konvergiert sie.
Also:
sn $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1/(1-0,25) =4/3 \end{eqnarray*}$ und alles noch *3 und dann ist der GW 4?

09.12.2009, 18:12

mYthos

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Zitat:

Original von Katrin_23
...
Kann man die GW- Bestimmung dann irgenwie so machen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (3/4)^k = 3* \sum\limits_{k=0}^\infty (1/4)^k \end{eqnarray*}$
...

Das ist mathematisch unrichtig, auch wenn sich hier zufällig das richtige Resultat ergibt. Du kannst die 3 nicht aus der k-ten Potenz einfach so alleine ausklammern, und wenn, dann eben mit der Hochzahl k, was dann natürlich nicht sinnvoll ist.

Es funktioniert doch mit $\begin{eqnarray*} q = \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ ohnehin einfach:

$\begin{eqnarray*} s_\infty = \frac{A_1}{1 - \frac 3 4} = 4A_1 \end{eqnarray*}$

Nun ist für A1 noch der entsprechende Flächeninhalt einzusetzen.

Die Reihe konvergiert, solange $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ ist und das ist ja auch bei $\begin{eqnarray*} \frac 3 4 \end{eqnarray*}$ der Fall.
Man kann ganz allgemein aus $\begin{eqnarray*} s_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1-q} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass diese Summe für $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \to \infty \end{eqnarray*}$ den endlichen Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac {a_1}{1-q} \end{eqnarray*}$ besitzt.

mY+

09.12.2009, 18:25

Katrin_23

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Ok, dann vielen vielen Dank bei der Hilfe!

13.12.2009, 15:29

Katrin_23

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Ist der Quotient der reihensumme eigentlich (wurzel 3) /2? Dann konvergiert ja die Reihe gegen einen sehr komischen Wert...(2u1)/ (2-wurzel 3)?
lg

13.12.2009, 22:34

mYthos

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Welche Reihensumme meinst du? Ich nehme an, die der Umfänge. Dann stimmt dieser Quotient und wohl auch die Summe, da bleibt eben die Wurzel drinnen, das ist schon ok so.

mY+

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