Skalarprodukt - Gramsche Matrix - Standardbasis

09.12.2009, 15:01

Laugenbasis

Skalarprodukt - Gramsche Matrix - Standardbasis

Hallo,
ich hoffe mal, ihr könnt mir bei einer Aufgabe helfen.
Es geht um folgendes:
"Gibt es ein Skalarprodukt <-,-> auf R^3 so, dass dessen Gramsche Matrix bezüglich der Standardbasis gleich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist?
Wenn ja, berechne Sie die Abstände zwischen je zwei der folgenden Vektoren bezüglich diesem neuen Skalarprodukt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ "

Also ich bin ziemlich der Überzeugung, dass es ein Skalarprodukt gibt. Weil ansonsten die zweite Fragestellung nicht gestellt wurde. Augenzwinkern

Aber das hilft mir ja nicht weiter.

Wie kann ich jetzt zeigen, dass es ein Skalarprodukt <-,-> auf R^3 so, dass dessen Gramsche Matrix bezüglich der Standardbasis gleich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist?

Ich brüte daran schon recht lange, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen. unglücklich

Jetzt hoffe ich mal, dass ihr mir beim Anfang etwas helfen könnt. smile

Mfg
Laugenbasis

09.12.2009, 15:27

Skalarprodukt

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RE: Skalarprodukt - Gramsche Matrix - Standardbasis
Du kannst dir überlegen, dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} <v_1,v_1> & <v_1,v_2> & <v_1,v_3> \\ <v_2,v_1> & <v_2,v_2> & <v_2,v_3> \\ <v_3,v_1> & <v_3,v_2> & <v_3,v_3> \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (v1, v2, v3)...\text{Standardbasis von }\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

Wenn du animmst, dass das gesuchte Skalarprodukt eine Linearkombination der Komponenter der Standardbasis ist, dann kannst du das Ganze als System linearer Gleichungen ansehen. Bedenke dabei, dass das Skalarprodukt per definition Symmetrisch ist, d.h
$\begin{eqnarray*} <v_1,v_2> = <v_2,v_1> \end{eqnarray*}$
somit kannst du dir einige Gleichungen sparen.

Ich hoffe, dass hilft dir etwas weiter.

09.12.2009, 17:25

Laugenbasis

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Danke für die Antwort.

Verständnismäßig hat mir deine Antwort etwas gebracht, aber irgendwie komme ich immer noch nicht so recht weiter.

Also ich weiß jetzt, dass sich die Matrix in der Diagonale "spiegeln" muss.

Also ich habe es mal auf folgende Form gebracht.

$\begin{eqnarray*} c_1 d_1 <v_1,v_1> + c_1 d_2 <v_1,v_2> + c_1 d_3 <v_1,v_3> + c_2 d_2 <v_2,v_2> + c_2 d_3 <v_2,v_3> + c_3 d_3 <v_3,v_3> \end{eqnarray*}$

Aber ich glaube das bringt mich nicht weiter unglücklich

Wie muss ich da nun vorgehen, damit ich das Skalarprodukt finde?

Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

09.12.2009, 19:28

Skalarprodukt

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RE: Skalarprodukt - Gramsche Matrix - Standardbasis
Hallo,

Du musst nun ein Skalarprodukt finden, so dass folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} <v_1,v_1> = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_1,v_2> = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_1,v_3> = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_2,v_2> = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_2,v_3> = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <v_3,v_3> = 2 \end{eqnarray*}$

Erinnere dich, wie du das Standard-Skalarprodukt von zwei Vektoren berechnest, und welche form die Standardbasis in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ haben.
Zur Erinnerung, die Standardbasis ist ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) und das Standardskalarprodukt (in R3) sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{3}{v_i\cdot w_i}=v_1 \cdot w_1+v_2 \cdot w_2+v_3 \cdot w_3 \end{eqnarray*}$
Du brauchst für dein Skalarprodukt nun eine Ähnliche Formel.

09.12.2009, 19:58

Laugenbasis

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Hallo,
danke für die Hilfe.

irgendwie tue ich mich schwer, diese Aufgabe in eine Form linearer Gleichung zu bringen um die Unbekannten dann auszurechnen.
Also ich muss $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 und v_3 \end{eqnarray*}$ ausrechnen, oder irre ich mich da?

Auch müsste doch $\begin{eqnarray*} <v_1, v_1> = 1 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ sein und folglich $\begin{eqnarray*} <v_2, v_2> = 2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
Oder bin ich da jetzt auf dem "Holzweg"? unglücklich

09.12.2009, 20:41

Skalarprodukt

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Zitat:

Original von Laugenbasis
Auch müsste doch $\begin{eqnarray*} <v_1, v_1> = 1 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ sein und folglich $\begin{eqnarray*} <v_2, v_2> = 2 \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
Oder bin ich da jetzt auf dem "Holzweg"? unglücklich

Wie kommst du auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

Leider kann ich dir jetzt auch nicht sagen wie du da ein LGS zusammen bekommst, aber durch probieren hab ich folgendes herausbekommen:
$\begin{eqnarray*} <-,-> \colon \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, (v,w) \mapsto <v,w>= v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 +v_3 \cdot w_3 + v_2 \cdot w_3 \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann jemand Anderes weiterhelfen, ein LGS aufzustellen?

09.12.2009, 20:45

Laugenbasis

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Dachte, da das Skalarprodukt ja v1 * v1 wäre und das sollte 1 ergeben

09.12.2009, 21:06

Skalarprodukt

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Zitat:

Original von Laugenbasis
Dachte, da das Skalarprodukt ja v1 * v1 wäre und das sollte 1 ergeben

Und wie kommst du auf die Wurzeln?
Bei der Formel vorher hab ich übrigens zwei Faktoren vergessen, richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} <-,-> \colon \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, (v,w) \mapsto <v,w>= v_1 \cdot w_1 + 2 \cdot v_2 \cdot w_2 + 2 \cdot v_3 \cdot w_3 + v_2 \cdot w_3 \end{eqnarray*}$

09.12.2009, 21:19

Laugenbasis

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Dachte, dass <v1 , v1> wie v1 * v1 wäre und dass soll 1 sein. Sprich a * a = 1 das bedeutet wiederum, dass a Wurzel aus 1 ist.
Aber ich glaube ich lasse diese Aufgabe aus.

Danke aber trotzdem für die Hilfe. smile

10.12.2009, 07:51

addor

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Ich würde das gesuchte Skalarprodukt gar nicht explizit konstruieren. Mir war, dass ein Skalarprodukt (SP) linear sein muss. Wenn das gesuchte SP von u und v einfach mal mit $\begin{eqnarray*} f(u,v) \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird, dann kann man dank der Linearität von f und durch die eindeutige Darstellung von u und v als Linearkombination der Einheitsbasisvektoren f doch auf $\begin{eqnarray*} f(e_{i},e_{j}) \end{eqnarray*}$ zurückführen. Und diese kennen wir ja. Es wäre dann

$\begin{eqnarray*} f(u,v)=\sum\limits_{i=1}^3 \sum\limits_{j=1}^3 u_{i},v_{j} f(e_{i},e_{j}) \end{eqnarray*}$

Damit und mit der Gramschen Matrix ist das gesuchte SP gegeben und Du kannst Dich hinter die Messung der Abstände machen....würde ich meinen. Oder täusche ich mich?

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