Basis im Unterraum

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Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »
Basis im Unterraum
Hallo! smile

Ich habe mit einer Aufgabe ziemlich Schwierigkeiten, auf einen Lösungsansatz zu kommen.

Also: Sei der -Vektorraum der Polynome über den reellen Zahlen vom Grad kleiner oder gleich 3.
a) Bestimme eine Basis des Unterraums


b) Bestimme einen Untervektorraum so, dass

also, bei a) weiß ich nicht wirklich, wie ich da anfangen soll. Ich weiß ja, dass ich ein linear unabhängiges Tupel brauche, welches den span erzeugt. Aber wie ich das bestimmen soll, da habe ich leider keine Idee unglücklich

und zu b) habe ich gedacht, dass ich vielleicht einen Satz aus der Vorlesung benutzen kann, dass es für jeden Unterraum W einen anderen Unterraum W' gibt, sodass die beiden in der direkten Summe V sind, wenn W,W' Unterräume von V sind. Geht das irgendwie so?

Bin wie immer für Tipps und Hilfestellungen dankbar.

Liebe Grüße
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis im Unterraum
du kannst ein polynom auch als vektor auffassen, übergang zur bilinearform des vektors (1,2,3): wobei * das skalare produkt sein soll.
nun ersetzt du die durch , und schon hast du ein polynom.
anders gesagt kann ein polynom als bilinearform eines vektors aufgefasst werden.
 
 
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich nicht ganz...Bilinearformen hatten wir auch noch nicht in der Vorlesung. unglücklich
Ginge es vielleicht auch anders?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

nun ja, man kann auch einfach auf lineare unabhängigkeit prüfen, zum beispiel sind
und schon mal linear unabhängig, denn es gibt keine skalare a,b mit ausser a=b=0, und das ist die definition von linearer unabhängigkeit.
warum ist das so?
ein polynom ergibt genau dann das nullpolynom wenn alle koeffizienten null sind. nun ist in der koeffizient von : -2 und in ist der koeffizient 1, was zu führen würde, um den koeffizienten null von zu bekommen; der koeffizient von x ist in p_1 -1 und in p_2 0, was zu a=0 führen würde, also existieren keine a,b ungleich null.
so kann man auch weiter verfahren um lineare abhängigkeit zu prüfen, ich finde es aber immer einfacher, ein polynom, zum beispiel als einen vektor zu interpretieren, nämlich den vektor (2,3,0,4).
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ah prima, jetzt klappt es auch smile

Wie gehe ich denn bei b) am besten vor, hast du da vielleicht noch einen Tipp?

Vielen Dank schonmal smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

dazu musst du die nur überlegen, welche dimension dein unterraum V haben muss, welche dimension muss er haben?
und dann bestimmst du den unterraum so, dass er nicht in U liegt.
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also, mir ist klar, was du meinst.
Die Dimension von U ist ja 3, von müsste 4 sein, richtig? Also nach Dimensionsformel müsste die von V dann ja 1 sein. Oder?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, und nun V so bestimmen, dass das polynom (V besteht dann ja nur aus einem) nicht in U liegt.
welche "struktur" bietet sich da denn an?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ginge zum Beispiel: ? Mir ist noch nichts aufgefallen, wie das in V dargestellt werden könnte.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
(V besteht dann ja nur aus einem)


Der Aussage kann ich nicht zustimmen. Vielleicht meintest du ja die Basis, aber der Unterraum V selbst besteht aus dem gesamten linearen Aufspann seiner Basis - und das sind unendlich viele Polynome.

air
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

@ air
stimmt, die basis von V besteht nur aus einem polynom
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre die Basis von V z.B. ?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

bestimme mal einen vektor, der zu (1,0,1,4), (1,0,0,1),(1,-1,0,-2) linear unabhängig ist
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

(1,0,0,0). Oder einen anderen?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

zum beispiel, dann ist das gesuchte polynom P(x)=1
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Aber macht das Sinn? solls ja noch sein.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

warum, was passt dir nicht?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, p ist ja einfach ein mögliches Polynom...hatte mich irgendwie irritiert.^^
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

genau, jetzt hast du es, noch fragen, oder alles klar?
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist dann V die Menge der P(x), die einen Koeffizienten noch zusätzlich haben. Stimmts?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kaninchen
Also ist dann V die Menge der P(x), die einen Koeffizienten noch zusätzlich haben. Stimmts?

wie zusätzlich?
ein möglicher unterraum V ist der von dem polynom p(x)=1 erzeugte......
Kaninchen Auf diesen Beitrag antworten »

Achnee, war nur ein Gedankenfehler.

Jetzt ist es mir auf jeden Fall ganz klar. smile

Vielen lieben Dank für deine Hilfe!!
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