Allgemeine Fragen Inverse/Rang/Kern

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Fragen Inverse/Rang/Kern
Hallöchen,

mir liegen einfach mal wieder ein paar allgemeine Fragen zum Thema Matrix/LGS auf dem Herzen ...


1)
Die Inverse einer Matrix berechnet man ja mit dem folgenden Schema:

(Links Matrix A, rechts Einheitsmatrix) ... Dann umformen bis .

Darf man beim Umformen Zeilen vertauschen, also ganz nach dem Gausverfahren?

2)
Wenn man nun von einer Matrix weiß, es gibt nur eine Links bzw. Rechtsinverse, berechnet man diese dann nach gleichem Verfahren wie unter 1) ? Egal ob Rechts oder Linksinverse?

3)
Eine Inverse zu einer Matrix ist immer quadratisch, richtig? Weil es muss ja voller Spalten und Zeilenrang sein, und es gilt Zeilenrang=Spaltenrang ?


4)
Eine Linksinverse einer Matrix gibt es ja für vollen Spaltenrang
Eine Rechtsinverse einer Matrix gibt es für vollen Spaltenrang

Weiterhin gilt:
Matrix A hat genau dann eine Linksinverse, wenn zugehörige Abbildung injektiv ist
Matrix A hat genau dann eine Rechtsinverse, wenn zug. Abbildung surjektiv

Gilt nun auch der Umkehrschluss immer? Also dass bei vollem Spaltenrang (Linksinverse) ich eine injektive Abbildung habe? Analog für surjektiv ?


5)
Wenn ich eine Abbildungsmatrix herausbekommen habe (z.B. bei einem Basiswechsel), dann darf ich Zeilen und Spalten nicht mehr vertauschen, richtig?


6)
ist ja die Lösungsmenge des zur Abbildung gehörenden homogenen System. Wenn ich nun zur Abbildung (also linearen) eine Matrix habe, dann muss ich diese Matrix einfach um eine Spalte voller Nullen erweitern, und dann kann ich die Lösungsmenge ausrechnen, richtig?



So das wars mal mit den allg. Fragen
Viell. fällt mir noch was ein

Vielen Dank sagt Physinetz
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

1.) und 2.) beantworte ich dir einmal nicht, es ist besser wenn du dir dabei selbst Gedanken machst. Überlege dir warum genau du dieses Verfahren anwendest(und es funktioniert!)

3.) ja
4.) ja, siehe Definition des Rangs
5.) Nicht ohne die Basis zu verändern
6.) Wird dir klar nachdem du über 1.) und 2.) nachgedacht hast
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) dürfte eigentlich keinen Unterschied machen ob ich Zeilen vertausche oder nicht, weil wie bei einer Matrix , da bleibt das ganze mit Gauss auch gleich...

Nur wenn ich dann nachher bei einer Abbildungsmatrix die Inverse gebildet habe, darf ich eben die Zeilen nicht mehr vertauschen (bei der fertigen Inversen)

zu 2) Wird wohl gleich gehen

zu 6) keine Ahnung
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau passiert denn bei dem Verfahren? Warum "formen" wir denn irgendwelche Matrizen um?
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Was bei Gauss passiert?

Die Unbekannten werden eben eliminiert, und deshalb formen wir auch um , sodass ich am Besten nachher die Einheitsmatrix habe und direkt die Lösungen ablesen kann.

und weiter?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum benutzt du Gauss?
 
 
wieschoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Und warum benutzt du Gauss?

Weil er es gelernt hat. Hammer

Es gibt 2 elementare Typen von Zeilenumformungen.
  • Addition eines Vielfachen einer Gleichung zueineranderen
  • Multiplikation einer Gleichung mit einem r aus K\{0}.


Das Zeilenvertauschenprinzip ist nichts anderes als, mehrfache elementare (Zeilen-)Umformungen.

Zitat:
Wenn man nun von einer Matrix weiß, es gibt nur eine Links bzw. Rechtsinverse, berechnet man diese dann nach gleichem Verfahren wie unter 1) ? Egal ob Rechts oder Linksinverse?


Entweder über mehrere Gleichungung (heuristisch). Oder Einheitsmatrix vom richtigen Format auch daneben schreiben und die Zeile, die nach Umformungen keine führende Eins enthält zeigt an, in wo eine neue Nullzeile bzw. -spalte eingefügt werden muss.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wieschoo
Weil er es gelernt hat. Hammer

Es geht mir hier um die Erkenntnis warum man ein Gleichungssystem lösen muss!
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