alle r-linearen abbildungen r-->r

09.12.2009, 20:22	blublop	Auf diesen Beitrag antworten »
alle r-linearen abbildungen r-->r Aufgabe ist: Man bestimme alle R-linearen Abbildungen R --> R. ich vermute mal, dass f(x) = $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ·x. mit delta aus R aber irgendwie fehlt mir son richtiger beweis dazu, sofern das überhaupt richtig ist ...
09.12.2009, 20:54	sav.	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist R? Ist damit der Körper der reellen Zahlen gemeint? Wenn ja, dann sind die linearen Abbildungen selbstverständlich von der Form $\begin{eqnarray} f(x)=a \cdot x, \quad a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Der Beweis dürfte klar sein (siehe Definition von Linearität).
09.12.2009, 21:36	blublop	Auf diesen Beitrag antworten »
ja sind die reellen zahlen sry. naja iwie steh ich trotzdem auf dem schlauch weil ich zwar locker beweisen kann dass die alle linear sind aber iwie fehlt mir das dass nur die linear sind und alle anderen nicht :S
09.12.2009, 22:45	sav.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du es alleine nicht schaffst, dann mach' ich es dir vor, damit du siehst, wie man so was macht: Angenommen $\begin{eqnarray} f(x)=ax+b \end{eqnarray}$ sei linear ( $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ ). Dann gilt (mit $\begin{eqnarray} a, \gamma \in \mathbb R \end{eqnarray}$ ) : $\begin{eqnarray} f(x+y)=a(x+y)+b=ax+ay+b \neq f(x)+f(y)=ax+b+ay+b=a(x+y)+2b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\gamma x) =a(\gamma x)+b \neq \gamma f(x)=\gamma (ax+b)=\gamma ax + \gamma b \end{eqnarray}$ ---> Funktionen der Form $\begin{eqnarray} f(x)=ax+b \end{eqnarray}$ sind nicht linear, wenn $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ gilt. q.e.d.

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