Dimension eines magischen Quadrats

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Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension eines magischen Quadrats
Hallo allerseits!
Die Aufgabe:
Es sei M die Menge aller magischen Quadrate, d.h. aller Matrizen A 2 R^3×3, in denen alle Zeilen-, Spalten- und die beiden Diagonalsummen den gleichen Wert haben. Zeigen Sie, dass M ein Untervektorraum von R^3×3 ist (hab ich gemacht), und bestimmen Sie seine Dimension.

Probleme hab ich jetzt mit der Dimensionsbestimmung. Die Dimension ist ja gleich der Anzahl der Basisvektoren. Also wie viele Vektoren, bzw. Matrizen, ich mindestens brauche, um mit diesen alle anderen darzustellen. Dann hat doch eine beliebige 3×3-Matrix die Dimension 9, oder? Denn dann steht an jeder Stelle einmal eine 1 und beim Rest sind Nullen.
Aber bei diesen magischen Quadraten: Gibt es da irgendeine allgemeinere Schreibweise? Es gibt da das bekannte Quadrat, welches aus den Zahlen 1 bis 9 besteht und in jeder Zeile/Spalte/Diagonale als Summe 15 hat. Aber genauso wäre eine 3×3-Matrix aus lauter Einsen ein magisches Quadrat. Gibt es da irgendeine Regelmäßigkeit, sodass die Dimension kleiner als 9 ist?

Danke und Gruß
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei



ein magisches Quadrat. Mit als Summenwert gelten dann die acht Gleichungen



Jetzt rechne . Daraus gewinnst du den fundamentalen Zusammenhang



Die Summe ist mithin bekannt, sobald das mittlere Matrixelement feststeht, und daher ein überflüssiger Parameter. Jetzt kann man die folgende Überlegung anstellen: Man gibt sich vor, womit bekannt ist. Weiter gibt man sich und vor. Alle weiteren Matrixelemente sind dann aus den Gleichungen zu berechnen. Es ist im Moment allerdings noch nicht ausgeschlossen, daß es dabei zu Konflikten kommt, weil sich aus den Gleichungen unterschiedliche Werte für die Matrixelemente ergeben könnten. Immerhin zeigt die Überlegung: Man hat höchstens 3 freie Vorgaben, die Dimension des Raumes der magischen Quadrate ist also höchstens 3.
Wenn es nun gelänge, drei linear unabhängige magische Quadrate anzugeben, würde das zeigen: Die Dimension ist mindestens 3. Zusammen hieße das: Die Dimension ist genau 3. Ziel muß es daher nun sein, diese drei linear unabhängigen magischen Quadrate zu finden. Ich fange einmal an und gebe mir , also , sowie und vor. Dann bekomme ich das magische Quadrat



Und jetzt noch zwei weitere solche Matrizen. Sie sollten möglichst einfach sein, aber nicht so primitiv, daß lineare Abhängigkeiten entstehen. Ein bißchen probieren und dann die lineare Unabhängigkeit nachweisen.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab vielen Dank für solch eine ausführliche Antwort!=)
Lieber Gruß
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